基礎問題集
数学B 数列「等差数列･等比数列」の問題22 解説
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解説
方針・初手
等差数列の第 $k$ 項を具体的に表し、第 $n$ 項までの和の公式に代入する。和が $n^m$ であることから $p$ を求め、最後にその式の偶奇を調べる。
解法1
公差が $2$、初項が $p$ であるから、第 $k$ 項は
$$ a_k=p+2(k-1)
$$
である。
したがって、第 $n$ 項までの和は
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} a_k &=\frac{n}{2}{2p+(n-1)\cdot 2} \\ &=n(p+n-1) \end{aligned}
$$
である。
これが $n^m$ に等しいので、
$$ n(p+n-1)=n^m
$$
となる。$n$ は正の整数であるから、両辺を $n$ で割って
$$ p+n-1=n^{m-1}
$$
を得る。よって
$$ p=n^{m-1}-n+1
$$
である。
次に、この $p$ が奇数であることを示す。
$n$ が偶数のとき、$n^{m-1}$ も偶数であるから、
$$ n^{m-1}-n
$$
は偶数である。よって
$$ p=n^{m-1}-n+1
$$
は奇数である。
$n$ が奇数のとき、$n^{m-1}$ も奇数であるから、
$$ n^{m-1}-n
$$
は偶数である。よって、この場合も
$$ p=n^{m-1}-n+1
$$
は奇数である。
以上より、$n$ の偶奇によらず、$p$ は奇数である。
解説
この問題の中心は、等差数列の和を
$$ \frac{n}{2}{2a_1+(n-1)d}
$$
として処理することである。公差が $2$ なので、和は特に簡単に
$$ n(p+n-1)
$$
となる。
偶奇の証明では、$n^{m-1}$ と $n$ が常に同じ偶奇であることを見るのが本質である。そのため、$n^{m-1}-n$ は常に偶数となり、それに $1$ を加えた $p$ は奇数になる。
答え
**(1)**
$$ p=n^{m-1}-n+1
$$
**(2)**
$n^{m-1}$ と $n$ は同じ偶奇であるから、$n^{m-1}-n$ は偶数である。したがって
$$ p=n^{m-1}-n+1
$$
は奇数である。