解説

方針・初手

まず、条件（イ）から $a,c$ を大きく絞る。次に、条件（ロ）の左辺と右辺の差を平方の形に変形し、隣り合う項の差 $x_{n+1}-x_n$ だけの条件に直す。

ここでは自然数を正の整数として扱う。

解法1

条件（イ）より、$4,x_1,x_2$ がこの順に等差数列であるから、

$$ 2x_1=4+x_2

$$

が成り立つ。

いま

$$ x_n=-an^2+bn+c

$$

であるから、

$$ x_1=-a+b+c,\qquad x_2=-4a+2b+c

$$

である。これを代入すると、

$$ \begin{aligned} 2(-a+b+c)&=4+(-4a+2b+c) \\ -2a+2b+2c&=4-4a+2b+c \\ 2a+c&=4 \end{aligned}

$$

を得る。

$a,c$ は自然数であるから、$a\geqq 1,\ c\geqq 1$ である。よって

$$ 2a+c=4

$$

を満たす自然数の組は

$$ a=1,\qquad c=2

$$

のみである。

したがって

$$ x_n=-n^2+bn+2

$$

となる。次に条件（ロ）を調べる。

条件（ロ）は

$$ \left(\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\right)^2\geqq x_nx_{n+1}+1

$$

である。左辺から $x_nx_{n+1}$ を引くと、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\right)^2-x_nx_{n+1} &=\frac{x_n^2+2x_nx_{n+1}+x_{n+1}^2}{4}-x_nx_{n+1} \\ &=\frac{x_n^2-2x_nx_{n+1}+x_{n+1}^2}{4} \\ &=\frac{(x_{n+1}-x_n)^2}{4} \end{aligned}

$$

である。よって条件（ロ）は

$$ \frac{(x_{n+1}-x_n)^2}{4}\geqq 1

$$

すなわち

$$ |x_{n+1}-x_n|\geqq 2

$$

と同値である。

ここで

$$ \begin{aligned} x_{n+1}-x_n &={-(n+1)^2+b(n+1)+2}-(-n^2+bn+2) \\ &=-2n-1+b \\ &=b-2n-1 \end{aligned}

$$

である。したがって、すべての自然数 $n$ に対して

$$ |b-2n-1|\geqq 2

$$

が成り立つ必要がある。

これは、$b$ が $2n+1$ から距離 $1$ 以下にあってはならない、という条件である。すなわち、任意の自然数 $n$ に対して

$$ b\notin{2n,\ 2n+1,\ 2n+2}

$$

でなければならない。

$n=1$ とすると、

$$ b\notin{2,3,4}

$$

である。また $n=2$ とすると、

$$ b\notin{4,5,6}

$$

である。同様にして、$n=1,2,3,\dots$ に対して除かれる値は

$$ 2,3,4,5,6,7,\dots

$$

すべてである。

したがって、自然数 $b$ として残るのは

$$ b=1

$$

のみである。

実際、$b=1$ のとき

$$ x_{n+1}-x_n=1-2n-1=-2n

$$

であるから、すべての自然数 $n$ に対して

$$ |x_{n+1}-x_n|=2n\geqq 2

$$

となり、条件（ロ）は満たされる。

以上より、

$$ a=1,\qquad b=1,\qquad c=2

$$

である。

解説

条件（ロ）は一見すると積 $x_nx_{n+1}$ を含むため複雑に見えるが、実際には

$$ \left(\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\right)^2-x_nx_{n+1} =\frac{(x_{n+1}-x_n)^2}{4}

$$

という恒等変形で、隣り合う項の差だけの条件になる。

また、条件（イ）から先に $a,c$ が確定するため、残る未知数は $b$ だけになる。最後は

$$ |b-2n-1|\geqq 2

$$

をすべての自然数 $n$ について満たす $b$ を探せばよい。$2n+1$ は $3,5,7,\dots$ と動くので、$b\geqq 2$ は必ずどこかで $2n+1$ に近づきすぎて条件を破る。したがって $b=1$ のみが残る。

答え

$$ \boxed{a=1,\quad b=1,\quad c=2}

$$