解説

方針・初手

両方の数列に含まれる数を調べるには、それぞれの一般項を書き、共通する項の条件を考えればよい。

等差数列は $3$ ずつ増えるので、$3$ で割った余りに着目する。等比数列は符号が交互に変わるため、正の項だけを調べる。

解法1

等差数列 $2,5,8,\cdots$ の一般項は

$$ a_n=2+3(n-1)=3n-1

$$

である。したがって、数列 ${a_n}$ に含まれる数は、正の整数のうち

$$ x\equiv 2 \pmod{3}

$$

を満たすものである。

一方、等比数列 $2,-4,8,\cdots$ の一般項は

$$ b_n=2(-2)^{n-1}

$$

である。

${a_n}$ の項はすべて正であるから、${b_n}$ のうち共通する可能性があるのは正の項だけである。$b_n$ が正になるのは $n$ が奇数のときである。

そこで $n=2k+1$ とおくと、$k=0,1,2,\cdots$ に対して

$$ b_{2k+1}=2(-2)^{2k}=2\cdot 4^k

$$

となる。

この数が ${a_n}$ に含まれるかを調べる。$4\equiv 1\pmod{3}$ であるから、

$$ 2\cdot 4^k\equiv 2\cdot 1^k\equiv 2\pmod{3}

$$

である。

したがって、$2\cdot 4^k$ はすべて $3$ で割った余りが $2$ であり、${a_n}$ に含まれる。

よって、両方の数列に含まれる数を順に並べると

$$ 2,\ 8,\ 32,\ 128,\ \cdots

$$

となる。これは初項 $2$、公比 $4$ の等比数列である。

したがって、${c_n}$ の一般項は

$$ c_n=2\cdot 4^{n-1}

$$

である。

解説

この問題では、等差数列側を「$3$ で割った余りが $2$ の正の整数」と見直すことが重要である。

等比数列 $2,-4,8,\cdots$ は符号が交互に変わるが、等差数列 $2,5,8,\cdots$ は正の数しか含まない。したがって、等比数列の正の項だけを取り出せばよい。

正の項は $2,8,32,\cdots$ であり、これは $2\cdot 4^k$ と表される。さらに $4\equiv 1\pmod{3}$ なので、すべて $3$ で割った余りが $2$ となり、等差数列にも含まれる。

答え

$$ c_n=2\cdot 4^{n-1}

$$