解説

方針・初手

$3+2\sqrt{2}$ と $3-2\sqrt{2}$ が共役であり、

$$ (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1

$$

となることに着目する。与えられた式の共役を考えれば、積をとることで(1)が示せる。また、和と差をとれば $a_n,b_n$ の一般項が得られる。

解法1

$\alpha=3+2\sqrt{2}$、$\beta=3-2\sqrt{2}$ とおく。このとき

$$ \alpha\beta=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1

$$

である。

与えられた条件より

$$ \alpha^n=a_n+\sqrt{2}b_n

$$

である。両辺で $\sqrt{2}$ を $-\sqrt{2}$ に置き換えた共役を考えると、

$$ \beta^n=a_n-\sqrt{2}b_n

$$

である。

（1） 2つの式を掛けると、

$$ \begin{aligned} \alpha^n\beta^n &= (a_n+\sqrt{2}b_n)(a_n-\sqrt{2}b_n) \end{aligned} $$

となる。左辺は

$$ \alpha^n\beta^n=(\alpha\beta)^n=1^n=1

$$

であり、右辺は

$$ (a_n+\sqrt{2}b_n)(a_n-\sqrt{2}b_n)=a_n^2-2b_n^2

$$

である。したがって

$$ a_n^2-2b_n^2=1

$$

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

**(2)**

$$ \alpha^n=a_n+\sqrt{2}b_n

$$

$$ \beta^n=a_n-\sqrt{2}b_n

$$

の和をとると、

$$ \alpha^n+\beta^n=2a_n

$$

である。よって

$$ a_n=\frac{\alpha^n+\beta^n}{2}

$$

である。

また、差をとると、

$$ \alpha^n-\beta^n=2\sqrt{2}b_n

$$

である。よって

$$ b_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{2\sqrt{2}}

$$

である。

したがって、$\alpha=3+2\sqrt{2}$、$\beta=3-2\sqrt{2}$ を戻すと、

$$ a_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n}{2}

$$

$$ b_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}

$$

である。

（3） 一般項を用いて

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{b_n} &= \frac{\dfrac{\alpha^n+\beta^n}{2}}{\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{2\sqrt{2}}} \\ \sqrt{2}\cdot \frac{\alpha^n+\beta^n}{\alpha^n-\beta^n} \end{aligned} $$

である。ここで $\alpha=3+2\sqrt{2}>1$、$0<\beta=3-2\sqrt{2}<1$ であり、さらに $\alpha\beta=1$ だから

$$ 0<\frac{\beta}{\alpha}<1

$$

である。

分子分母を $\alpha^n$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{b_n} &= \sqrt{2}\cdot \frac{1+\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^n} {1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^n} \end{aligned} $$

となる。

$$ 0<\frac{\beta}{\alpha}<1

$$

より、

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} &= \sqrt{2}\cdot \frac{1+0}{1-0} \\ \sqrt{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$3+2\sqrt{2}$ の共役である $3-2\sqrt{2}$ を利用する点である。特に

$$ (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1

$$

となるため、積をとれば $a_n^2-2b_n^2=1$ がすぐに導ける。

また、共役の式を作ったあと、和と差をとることで $a_n,b_n$ を分離できる。これは $\sqrt{2}$ を含む数を有理部分と無理部分に分ける典型的な処理である。

極限では、$3+2\sqrt{2}>1$ に対して $3-2\sqrt{2}$ は $0$ と $1$ の間の数であることを使う。大きな $n$ では $(3+2\sqrt{2})^n$ が支配的になるため、比 $\dfrac{a_n}{b_n}$ は $\sqrt{2}$ に近づく。

答え

**(1)**

$$ a_n^2-2b_n^2=1

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n}{2}

$$

$$ b_n=\frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\sqrt{2}

$$