解説

方針・初手

方程式 $u^2-2v^2=1$ は Pell 型方程式である。最小の自然数解 $(3,2)$ を基準にし、$u\geqq 4$ の解から

$$ s=3u-4v,\qquad t=-2u+3v

$$

を作ると、これは $u+v\sqrt{2}$ に $3-2\sqrt{2}$ を掛ける操作に対応する。したがって、自然数解をより小さい自然数解へ下げる「降下法」で全体を証明する。

解法1

**(1)**

$(u,v)$ が曲線 $x^2-2y^2=1$ 上にあるから、

$$ u^2-2v^2=1

$$

である。

$u=1$ とすると、

$$ 1-2v^2=1

$$

より $v=0$ となる。これは $v$ が自然数であることに反する。

また、$u=2$ とすると、

$$ 4-2v^2=1

$$

より

$$ 2v^2=3

$$

となり、自然数 $v$ は存在しない。

よって、

$$ u\neq 1,2

$$

である。

**(2)**

$u=3$ とすると、

$$ 9-2v^2=1

$$

であるから、

$$ 2v^2=8

$$

すなわち

$$ v^2=4

$$

となる。$v$ は自然数なので、

$$ v=2

$$

である。

**(3)**

以後 $u\geqq 4$ とし、

$$ s=3u-4v,\qquad t=-2u+3v

$$

とおく。

**(i)**

まず、

$$ u^2-2v^2=1

$$

より

$$ u^2=2v^2+1>2v^2

$$

である。$u,v$ は自然数だから正であり、

$$ u>\sqrt{2}v

$$

が成り立つ。

次に $3v>2u$ を示す。仮に $3v\leqq 2u$ とすると、

$$ 9v^2\leqq 4u^2

$$

である。ところが $u^2=2v^2+1$ より、

$$ 4u^2=8v^2+4

$$

だから、

$$ 9v^2\leqq 8v^2+4

$$

となる。よって

$$ v^2\leqq 4

$$

であり、$v=1,2$ である。

$v=1$ のときは

$$ u^2=2\cdot 1^2+1=3

$$

となり、自然数 $u$ は存在しない。

$v=2$ のときは

$$ u^2=2\cdot 2^2+1=9

$$

より $u=3$ となり、$u\geqq 4$ に反する。

したがって仮定 $3v\leqq 2u$ は誤りであり、

$$ 3v>2u

$$

である。

よって、

$$ u>\sqrt{2}v,\qquad 3v>2u

$$

が成り立つ。

**(ii)**

$s,t$ は $u,v$ の整数係数一次式であるから整数である。

まず $s$ の正値性を示す。（i） より $u>\sqrt{2}v$ であるから、

$$ 3u>3\sqrt{2}v

$$

である。ここで $3\sqrt{2}>4$ より、

$$ 3u>4v

$$

である。したがって

$$ s=3u-4v>0

$$

であり、$s$ は自然数である。

また、（i） より

$$ 3v>2u

$$

であるから、

$$ t=-2u+3v>0

$$

であり、$t$ も自然数である。

次に $(s,t)$ が曲線上にあることを示す。

$$ \begin{aligned} s^2-2t^2 &=(3u-4v)^2-2(-2u+3v)^2\\ &=(9u^2-24uv+16v^2)-2(4u^2-12uv+9v^2)\\ &=9u^2-24uv+16v^2-8u^2+24uv-18v^2\\ &=u^2-2v^2\\ &=1 \end{aligned}

$$

よって $(s,t)$ も曲線 $x^2-2y^2=1$ 上の点であり、その成分 $s,t$ は自然数である。

**(iii)**

示すべきことは $u>s$ である。$s=3u-4v$ だから、

$$ u>s

$$

は

$$ u>3u-4v

$$

すなわち

$$ 2v>u

$$

と同値である。

ここで

$$ u^2=2v^2+1

$$

であり、$v$ は自然数なので

$$ 2v^2+1<4v^2

$$

が成り立つ。したがって

$$ u^2<4v^2

$$

である。$u,v$ は正だから、

$$ u<2v

$$

である。

よって

$$ u>s

$$

が成り立つ。

**(iv)**

右辺を展開する。

$$ \begin{aligned} (3+2\sqrt{2})(s+t\sqrt{2}) &=3s+6t\sqrt{2}+2s\sqrt{2}+4t\\ &=(3s+4t)+(2s+3t)\sqrt{2} \end{aligned}

$$

ここで $s=3u-4v,\ t=-2u+3v$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} 3s+4t &=3(3u-4v)+4(-2u+3v)\\ &=9u-12v-8u+12v\\ &=u \end{aligned}

$$

また、

$$ \begin{aligned} 2s+3t &=2(3u-4v)+3(-2u+3v)\\ &=6u-8v-6u+9v\\ &=v \end{aligned}

$$

である。したがって、

$$ (3+2\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})=u+v\sqrt{2}

$$

すなわち

$$ u+v\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})

$$

である。

**(4)**

まず、十分性を示す。自然数 $n$ が存在して

$$ u+v\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^n

$$

を満たすとする。

二項展開より、右辺は

$$ (3+2\sqrt{2})^n=u+v\sqrt{2}

$$

という形で表され、このとき $u,v$ は自然数である。また、その共役をとると

$$ u-v\sqrt{2}=(3-2\sqrt{2})^n

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} u^2-2v^2 &=(u+v\sqrt{2})(u-v\sqrt{2})\\ &=(3+2\sqrt{2})^n(3-2\sqrt{2})^n\\ &={(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}^n\\ &=(9-8)^n\\ &=1 \end{aligned}

$$

である。よって $(u,v)$ は曲線 $x^2-2y^2=1$ 上の点である。

次に、必要性を示す。$(u,v)$ を、成分がともに自然数である曲線 $x^2-2y^2=1$ 上の点とする。

（1） より $u\neq 1,2$ であるから、自然数 $u$ について

$$ u\geqq 3

$$

である。

$u=3$ のとき、（2） より $v=2$ である。したがって

$$ u+v\sqrt{2}=3+2\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^1

$$

となり、条件を満たす。

$u\geqq 4$ のとき、（3） により

$$ s=3u-4v,\qquad t=-2u+3v

$$

とおけば、$(s,t)$ も曲線 $x^2-2y^2=1$ 上の自然数解であり、さらに

$$ s<u

$$

である。

ここで $u$ に関する数学的帰納法、より正確には強い帰納法を用いる。$s<u$ なので、より小さい自然数解 $(s,t)$ については、ある自然数 $m$ が存在して

$$ s+t\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^m

$$

と表せる。

すると （3） の （iv） より、

$$ \begin{aligned} u+v\sqrt{2} &=(3+2\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})\\ &=(3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^m\\ &=(3+2\sqrt{2})^{m+1} \end{aligned}

$$

である。$m+1$ は自然数であるから、必要性が示された。

以上より、成分がともに自然数である点 $(u,v)$ が曲線 $x^2-2y^2=1$ 上にあるための必要十分条件は、ある自然数 $n$ が存在して

$$ u+v\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^n

$$

を満たすことである。

解説

この問題の中心は、Pell 方程式 $u^2-2v^2=1$ の自然数解を、基本解 $(3,2)$ からすべて生成できることを示す点にある。

特に重要なのは、$u\geqq 4$ の解 $(u,v)$ から

$$ s=3u-4v,\qquad t=-2u+3v

$$

を作ると、再び自然数解 $(s,t)$ が得られ、しかも $s<u$ となることである。これにより、大きな解を小さな解へ戻していく降下法が使える。

また、

$$ u+v\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})

$$

という関係は、実質的には

$$ s+t\sqrt{2}=(3-2\sqrt{2})(u+v\sqrt{2})

$$

を意味している。つまり、解を一段階小さくする操作が、$3-2\sqrt{2}$ を掛ける操作になっている。

最小の自然数解が $(3,2)$ であることを確認し、そこから帰納的にすべての解が

$$ (3+2\sqrt{2})^n

$$

で表されると結論づけるのが、この問題の標準的な構造である。

答え

**(1)**

$$ u\neq 1,2

$$

**(2)**

$$ u=3\ \text{のとき}\ v=2

$$

**(3)**

$u\geqq 4$ とし、

$$ s=3u-4v,\qquad t=-2u+3v

$$

とすると、

$$ u>\sqrt{2}v,\qquad 3v>2u

$$

であり、$(s,t)$ も曲線 $x^2-2y^2=1$ 上の自然数解である。また、

$$ u>s

$$

かつ

$$ u+v\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(s+t\sqrt{2})

$$

である。

**(4)**

成分がともに自然数である点 $(u,v)$ が曲線 $x^2-2y^2=1$ 上にあるための必要十分条件は、ある自然数 $n$ が存在して

$$ u+v\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^n

$$

を満たすことである。