解説

方針・初手

$(3+\sqrt{5})^n=a_n+b_n\sqrt{5}$ の両辺に $3+\sqrt{5}$ をかけると、$n+1$ 番目の係数が得られる。

また、$a_n,b_n$ は有理数であり、$\sqrt{5}$ の係数比較が使える。共役な数 $3-\sqrt{5}$ を考えると、$a_n-b_n\sqrt{5}$ が自然に現れる。

解法1

まず、

$$ (3+\sqrt{5})^n=a_n+b_n\sqrt{5}

$$

である。両辺に $3+\sqrt{5}$ をかけると、

$$ (3+\sqrt{5})^{n+1}=(a_n+b_n\sqrt{5})(3+\sqrt{5})

$$

となる。右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (a_n+b_n\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) &=3a_n+a_n\sqrt{5}+3b_n\sqrt{5}+5b_n \\ &=(3a_n+5b_n)+(a_n+3b_n)\sqrt{5} \end{aligned}

$$

である。

一方、

$$ (3+\sqrt{5})^{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{5}

$$

だから、係数を比較して、

$$ a_{n+1}=3a_n+5b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+3b_n

$$

を得る。

次に、

$$ c_n=a_n-b_n\sqrt{5}

$$

とおく。ここで、$(3+\sqrt{5})^n=a_n+b_n\sqrt{5}$ の両辺について $\sqrt{5}$ を $-\sqrt{5}$ に置き換えると、

$$ (3-\sqrt{5})^n=a_n-b_n\sqrt{5}

$$

である。したがって、

$$ c_n=(3-\sqrt{5})^n

$$

である。

最後に、もとの式

$$ (3+\sqrt{5})^n=a_n+b_n\sqrt{5}

$$

と、今求めた式

$$ (3-\sqrt{5})^n=a_n-b_n\sqrt{5}

$$

を用いる。

2つの式を加えると、

$$ (3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n=2a_n

$$

であるから、

$$ a_n=\frac{(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n}{2}

$$

となる。

また、2つの式を引くと、

$$ (3+\sqrt{5})^n-(3-\sqrt{5})^n=2b_n\sqrt{5}

$$

であるから、

$$ b_n=\frac{(3+\sqrt{5})^n-(3-\sqrt{5})^n}{2\sqrt{5}}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、$3+\sqrt{5}$ をかけたときの有理部分と $\sqrt{5}$ の係数部分を分けることである。

$(3+\sqrt{5})^n$ は $a_n+b_n\sqrt{5}$ の形で表されるので、次の項は単に $3+\sqrt{5}$ をかけて係数比較すればよい。

また、$a_n-b_n\sqrt{5}$ は共役を利用して得られる。つまり、$\sqrt{5}$ を $-\sqrt{5}$ に置き換えた式を考えると、

$$ a_n-b_n\sqrt{5}=(3-\sqrt{5})^n

$$

となる。この2式を加減することで、$a_n,b_n$ を直接取り出せる。

答え

**(1)**

$$ a_{n+1}=3a_n+5b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+3b_n

$$

**(2)**

$$ c_n=(3-\sqrt{5})^n

$$

**(3)**

$$ a_n=\frac{(3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n}{2}

$$

$$ b_n=\frac{(3+\sqrt{5})^n-(3-\sqrt{5})^n}{2\sqrt{5}}

$$