解説

方針・初手

$\sqrt{3}$ の無理性を用いて、有理数係数で $1$ と $\sqrt{3}$ が一次独立であることを示す。以後は、$a+b\sqrt{3}$ 型の数を比較するときに、この一次独立性を使う。

解法1

(1)

$s,t$ は有理数で、

$$ s+t\sqrt{3}=0

$$

とする。

もし $t\neq 0$ ならば、

$$ \sqrt{3}=-\frac{s}{t}

$$

となる。右辺は有理数であるから、$\sqrt{3}$ が有理数となってしまう。これは $\sqrt{3}$ が無理数であることに反する。

したがって $t=0$ である。このとき、もとの式から

$$ s=0

$$

も従う。

よって、

$$ s+t\sqrt{3}=0,\quad s,t\in\mathbb{Q}

$$

ならば、

$$ s=t=0

$$

である。

(2)

$1+\sqrt{3}$ が

$$ x^3+px+q=0

$$

の解であるから、

$$ (1+\sqrt{3})^3+p(1+\sqrt{3})+q=0

$$

が成り立つ。

まず

$$ (1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}

$$

であるから、

$$ (1+\sqrt{3})^3=(4+2\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=10+6\sqrt{3}

$$

となる。

したがって、

$$ 10+6\sqrt{3}+p(1+\sqrt{3})+q=0

$$

すなわち

$$ (10+p+q)+(6+p)\sqrt{3}=0

$$

である。

$p,q$ は有理数なので、(1)より

$$ \begin{cases} 10+p+q=0,\\ 6+p=0 \end{cases}

$$

が成り立つ。

よって

$$ p=-6,\quad q=-4

$$

である。

このとき方程式は

$$ x^3-6x-4=0

$$

となる。$x=1+\sqrt{3}$ が解であるから、係数が有理数であることより $x=1-\sqrt{3}$ も解である。

実際、

$$ (1-\sqrt{3})^3-6(1-\sqrt{3})-4=0

$$

である。

残りの解を $r$ とすると、3つの解の和は $0$ であるから、

$$ (1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})+r=0

$$

より

$$ 2+r=0

$$

である。

したがって、

$$ r=-2

$$

である。

よって、他の解は

$$ 1-\sqrt{3},\quad -2

$$

である。

(3)

数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき、

$$ (1+\sqrt{3})^1=1+\sqrt{3}

$$

であるから、

$$ a_1=1,\quad b_1=1

$$

とすればよい。したがって $n=1$ では成り立つ。

次に、ある自然数 $k$ について

$$ (1+\sqrt{3})^k=a_k+b_k\sqrt{3}

$$

となる自然数 $a_k,b_k$ が存在すると仮定する。

このとき、

$$ \begin{aligned} (1+\sqrt{3})^{k+1} &=(a_k+b_k\sqrt{3})(1+\sqrt{3})\\ &=a_k+3b_k+(a_k+b_k)\sqrt{3} \end{aligned}

$$

である。

ここで

$$ a_{k+1}=a_k+3b_k,\quad b_{k+1}=a_k+b_k

$$

とおけば、$a_k,b_k$ は自然数であるから、$a_{k+1},b_{k+1}$ も自然数である。

よって $n=k+1$ でも成り立つ。

以上より、すべての自然数 $n$ に対して、自然数 $a_n,b_n$ が存在して

$$ (1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}

$$

となる。

(4)

(3)で得られた自然数 $a_n,b_n$ を用いると、同じ計算により

$$ (1-\sqrt{3})^n=a_n-b_n\sqrt{3}

$$

と表せる。

これは、展開したときに $\sqrt{3}$ の偶数乗を含む項は有理部分に入り、奇数乗を含む項は $\sqrt{3}$ の係数部分に入るためである。

ここで、背理法により $(1-\sqrt{3})^n$ が有理数であると仮定する。その値を $r$ とおくと、

$$ a_n-b_n\sqrt{3}=r

$$

である。

移項して、

$$ (a_n-r)-b_n\sqrt{3}=0

$$

となる。

$a_n,r,b_n$ は有理数であり、$b_n$ は自然数であるから $b_n\neq 0$ である。

しかし (1) より、

$$ (a_n-r)-b_n\sqrt{3}=0

$$

が成り立つならば、

$$ a_n-r=0,\quad -b_n=0

$$

でなければならない。

これは $b_n\neq 0$ に反する。

したがって、$(1-\sqrt{3})^n$ は有理数ではない。

よって、すべての自然数 $n$ に対して、

$$ (1-\sqrt{3})^n

$$

は無理数である。

解説

この問題の中心は、$a+b\sqrt{3}$ 型の数の比較である。有理数部分と $\sqrt{3}$ の係数部分を分けたあと、(1) の結果を使ってそれぞれの係数を比較する。

(2) では、$1+\sqrt{3}$ を代入して有理数部分と $\sqrt{3}$ の係数部分を分ければ、$p,q$ が一意に決まる。

(3) では、$1+\sqrt{3}$ を掛ける操作によって、再び $a+b\sqrt{3}$ 型に戻ることを見る。自然数性も同時に確認する必要がある。

(4) では、$(1-\sqrt{3})^n$ も $a_n-b_n\sqrt{3}$ 型になることを使う。これが有理数だとすると、$\sqrt{3}$ の係数が $0$ でなければならないが、$b_n$ は自然数なので矛盾する。

答え

**(1)**

$$ s+t\sqrt{3}=0,\quad s,t\in\mathbb{Q}

$$

ならば、

$$ s=t=0

$$

である。

**(2)**

$$ p=-6,\quad q=-4

$$

である。他の解は

$$ 1-\sqrt{3},\quad -2

$$

である。

**(3)**

すべての自然数 $n$ に対して、自然数 $a_n,b_n$ が存在して

$$ (1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}

$$

と表せる。

**(4)**

すべての自然数 $n$ に対して、

$$ (1-\sqrt{3})^n

$$

は無理数である。