基礎問題集
数学B 数列「階差数列」の問題1 解説
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解説
方針・初手
隣り合う項の差を調べると、差が等差数列になっている。したがって、一般項は $n$ の2次式で表せると考えるのが自然である。
解法1
与えられた数列を
$$ 4,\ 7,\ 14,\ 25,\ 40,\ 59,\ \cdots
$$
とする。
隣り合う項の差をとると、
$$ 7-4=3,\quad 14-7=7,\quad 25-14=11,\quad 40-25=15,\quad 59-40=19
$$
である。したがって階差数列は
$$ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ 19,\ \cdots
$$
となり、公差 $4$ の等差数列である。
よって、
$$ a_{n+1}-a_n=4n-1
$$
である。
したがって、$n\geqq 2$ のとき
$$ \begin{aligned} a_n &=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\\ &=4+\sum_{k=1}^{n-1}(4k-1)\\ &=4+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}-(n-1)\\ &=4+2n(n-1)-n+1\\ &=2n^2-3n+5 \end{aligned}
$$
となる。
この式は $n=1$ のときも
$$ 2\cdot 1^2-3\cdot 1+5=4
$$
となり成り立つ。よって一般項は
$$ a_n=2n^2-3n+5
$$
である。
次に、第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。
$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n}a_k\\ &=\sum_{k=1}^{n}(2k^2-3k+5)\\ &=2\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+5n \end{aligned}
$$
ここで、
$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
を用いると、
$$ \begin{aligned} S_n &=2\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+5n\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} -\frac{3n(n+1)}{2}+5n\\ &=\frac{2n(n+1)(2n+1)-9n(n+1)+30n}{6}\\ &=\frac{n{2(n+1)(2n+1)-9(n+1)+30}}{6}\\ &=\frac{n(4n^2-3n+23)}{6} \end{aligned}
$$
したがって、
$$ S_n=\frac{n(4n^2-3n+23)}{6}
$$
である。
解法2
この数列の階差の階差を調べる。
$$ \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 14 & 25 & 40 & 59 \\ & 3 & 7 & 11 & 15 & 19 \\ & & 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}
$$
第2階差が一定であるから、一般項は $n$ の2次式
$$ a_n=pn^2+qn+r
$$
とおける。
$a_1=4,\ a_2=7,\ a_3=14$ より、
$$ \begin{cases} p+q+r=4\\ 4p+2q+r=7\\ 9p+3q+r=14 \end{cases}
$$
である。
上から順に差をとると、
$$ 3p+q=3,\qquad 5p+q=7
$$
となる。これらを引いて、
$$ 2p=4
$$
より、
$$ p=2
$$
である。
さらに、
$$ 3p+q=3
$$
より、
$$ 6+q=3
$$
だから、
$$ q=-3
$$
である。
最後に、
$$ p+q+r=4
$$
へ代入して、
$$ 2-3+r=4
$$
より、
$$ r=5
$$
となる。
よって、
$$ a_n=2n^2-3n+5
$$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n}(2k^2-3k+5)\\ &=2\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+5n\\ &=2\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+5n\\ &=\frac{n(4n^2-3n+23)}{6} \end{aligned}
$$
である。
解説
この問題では、数列そのものを見るよりも、まず隣り合う項の差を見ることが重要である。階差数列が等差数列になっているので、元の数列は2次式で表せる。
解法1は階差数列を直接足し上げる方法であり、数列の構造をそのまま使う標準的な解法である。解法2は、第2階差が一定であることから一般項を2次式とおいて係数を決める方法である。
どちらの方法でも、一般項を求めた後は、$\sum k$ と $\sum k^2$ の公式を使えば $S_n$ が求められる。
答え
$$ a_n=2n^2-3n+5
$$
$$ S_n=\frac{n(4n^2-3n+23)}{6}
$$