解説

方針・初手

並んでいる項の差に注目する。$0,4,10,18,\cdots$ の差は $4,6,8,\cdots$ となっており、差が $2$ ずつ増える数列であると見られる。したがって第 $n$ 項は $n$ の2次式として求めるのが自然である。

解法1

数列を $a_n$ とする。

与えられた項から、第 $3$ 項以降について

$$ a_3=0,\quad a_4=4,\quad a_5=10,\quad a_6=18

$$

である。隣り合う項の差をとると、

$$ 4-0=4,\quad 10-4=6,\quad 18-10=8

$$

となり、公差が $2$ ずつ増えている。

したがって第 $n$ 項は2次式と考え、

$$ a_n=an^2+bn+c

$$

とおく。

$a_1=-2,\ a_3=0,\ a_4=4$ より、

$$ \begin{aligned} a+b+c&=-2,\\ 9a+3b+c&=0,\\ 16a+4b+c&=4 \end{aligned}

$$

である。

第2式から第1式を引くと、

$$ 8a+2b=2

$$

より、

$$ 4a+b=1

$$

である。

また、第3式から第2式を引くと、

$$ 7a+b=4

$$

である。

これらを引き算すると、

$$ 3a=3

$$

より、

$$ a=1

$$

である。よって

$$ 4a+b=1

$$

に代入して、

$$ 4+b=1

$$

だから、

$$ b=-3

$$

である。

さらに

$$ a+b+c=-2

$$

より、

$$ 1-3+c=-2

$$

なので、

$$ c=0

$$

である。

したがって一般項は

$$ a_n=n^2-3n

$$

である。

これより、

$$ a_2=2^2-3\cdot2=4-6=-2

$$

だから、

$$ [\text{ア}]=-2

$$

である。

また、

$$ a_7=7^2-3\cdot7=49-21=28

$$

だから、

$$ [\text{イ}]=28

$$

である。

次に、第 $[\text{ウ}]$ 項が $108$ であるから、

$$ n^2-3n=108

$$

を解けばよい。

$$ n^2-3n-108=0

$$

より、

$$ (n-12)(n+9)=0

$$

である。

$n$ は正の整数なので、

$$ n=12

$$

である。したがって、

$$ [\text{ウ}]=12

$$

である。

最後に、最初の $20$ 項の和を求める。

$$ \sum_{n=1}^{20} a_n=\sum_{n=1}^{20}(n^2-3n)

$$

であるから、

$$ \sum_{n=1}^{20}(n^2-3n)=\sum_{n=1}^{20}n^2-3\sum_{n=1}^{20}n

$$

となる。

公式

$$ \sum_{n=1}^{20}n^2=\frac{20\cdot21\cdot41}{6}=2870

$$

および

$$ \sum_{n=1}^{20}n=\frac{20\cdot21}{2}=210

$$

を用いると、

$$ \sum_{n=1}^{20}a_n=2870-3\cdot210=2870-630=2240

$$

である。

したがって、

$$ [\text{エ}]=2240

$$

である。

解説

この数列は、隣り合う項の差が一定ではなく、差の差が一定になる数列である。このような数列では一般項が2次式になる。

実際に

$$ -2,\ -2,\ 0,\ 4,\ 10,\ 18,\ 28,\ 40,\cdots

$$

と並び、差は

$$ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\cdots

$$

となる。したがって一般項を $a_n=n^2-3n$ と求めれば、空欄も和も一括して処理できる。

答え

$$ [\text{ア}]=-2,\quad [\text{イ}]=28,\quad [\text{ウ}]=12,\quad [\text{エ}]=2240

$$