基礎問題集
数学B 数列「群数列」の問題2 解説
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解説
方針・初手
各行に並ぶ個数が $1,2,3,\ldots$ と増えているので、$n$ 行目の左端の数は「その前までに何個の奇数が並んでいるか」から求める。
奇数列 $1,3,5,\ldots$ の第 $k$ 番目は $2k-1$ であることを使う。
解法1
$n$ 行目の前には、$1$ 行目から $n-1$ 行目までの数が並んでいる。その個数は
$$ 1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}
$$
である。
したがって、$n$ 行目の左端の数は、奇数列全体の
$$ \frac{n(n-1)}{2}+1
$$
番目の奇数である。
奇数列の第 $k$ 番目の数は $2k-1$ だから、$n$ 行目の左端の数は
$$ 2\left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)-1 =n(n-1)+1
$$
である。よって
$$ n^2-n+1
$$
と表せる。
次に、$1987$ が奇数列全体で何番目かを求める。奇数列の第 $k$ 番目が $1987$ であるとすると、
$$ 2k-1=1987
$$
より、
$$ k=994
$$
である。
したがって、$1987$ は奇数列全体の $994$ 番目である。
$n$ 行目までに並ぶ数の個数は
$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
である。ここで、
$$ \frac{44\cdot45}{2}=990,\qquad \frac{45\cdot46}{2}=1035
$$
だから、$994$ 番目の数は $45$ 行目にある。
また、$44$ 行目までに $990$ 個あるので、$45$ 行目の左端から数えると
$$ 994-990=4
$$
番目である。
最後に、$1987$ がある $45$ 行目の数の総和を求める。
$45$ 行目の左端の数は
$$ 45^2-45+1=1981
$$
である。
$45$ 行目には $45$ 個の奇数が並ぶので、右端の数は
$$ 1981+2(45-1)=2069
$$
である。
したがって、$45$ 行目の数の総和は、初項 $1981$、末項 $2069$、項数 $45$ の等差数列の和だから、
$$ \frac{45(1981+2069)}{2} =45\cdot2025 =91125
$$
である。
解説
この問題では、各行の個数が $1,2,3,\ldots$ と増えている点に注目する。行番号と奇数列全体での番号を結びつけるには、三角数
$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
を使うのが自然である。
$1987$ がどの行にあるかを直接探すのではなく、まず奇数列全体で何番目かを求め、その番号がどの三角数の間に入るかを調べるとよい。
答え
**(1)**
$$ n^2-n+1
$$
**(2)**
$45$ 行目の左端から $4$ 番目。
**(3)**
$$ 91125
$$