基礎問題集
数学B 数列「群数列」の問題3 解説
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解説
方針・初手
この数列は、分母ごとにまとまって並んでいる。
分母が $n$ の部分は
$$ \frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{n}{n}
$$
の $n$ 個である。したがって、第何項かを考えるには、各群の項数
$$ 1,2,3,\cdots,n
$$
の和を使えばよい。
解法1
分母が $n$ の項までに現れる項数は
$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
である。
(1)
$\dfrac{99}{100}$ は既約分数である。したがって、これと同じ値をもつ分数 $\dfrac{k}{m}$ が現れるには、分母 $m$ は $100$ の倍数でなければならない。
よって、$\dfrac{99}{100}$ が初めて現れるのは、分母が $100$ の群の中である。
分母が $99$ までの項数は
$$ 1+2+\cdots+99=\frac{99\cdot 100}{2}=4950
$$
である。
分母が $100$ の群は
$$ \frac{1}{100},\frac{2}{100},\cdots,\frac{99}{100},\frac{100}{100}
$$
であり、$\dfrac{99}{100}$ はこの群の $99$ 番目である。
したがって、求める項番号は
$$ 4950+99=5049
$$
である。
よって、$\dfrac{99}{100}$ が初めて現れるのは第 $5049$ 項である。
(2)
第 $2005$ 項がどの分母の群に入るかを調べる。
分母が $62$ までの項数は
$$ \frac{62\cdot 63}{2}=1953
$$
である。
また、分母が $63$ までの項数は
$$ \frac{63\cdot 64}{2}=2016
$$
である。
したがって、
$$ 1953<2005\leqq 2016
$$
より、第 $2005$ 項は分母が $63$ の群にある。
分母が $63$ の群の中で何番目かを求めると、
$$ 2005-1953=52
$$
である。
よって、第 $2005$ 項は
$$ \frac{52}{63}
$$
である。
解説
この問題では、数列を「分母ごとの群」に分けることが重要である。分母が $n$ の群には $n$ 個の項があるため、累計項数は三角数
$$ \frac{n(n+1)}{2}
$$
で管理できる。
(1) では、$\dfrac{99}{100}$ が既約分数であることに注意する。単に分母 $100$ の中を探すだけでなく、それより前に同じ値が出ない理由を確認する必要がある。
(2) では、$2005$ がどの三角数の間に入るかを調べれば、分母と分子が決まる。
答え
**(1)**
第 $5049$ 項
**(2)**
$$ \frac{52}{63}
$$