基礎問題集
数学B 数列「群数列」の問題5 解説
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解説
方針・初手
第 $m$ 群の位置を調べるには、それ以前の群に含まれる項数を数えればよい。
第 $1$ 群から第 $m-1$ 群までの項数の合計は
$$ 2+2^2+\cdots+2^{m-1}
$$
であるから、第 $m$ 群の先頭と最後が数列 ${a_n}$ の何番目に当たるかを求める。
解法1
第 $m$ 群に入る前まで、すなわち第 $1$ 群から第 $m-1$ 群までに含まれる項数は
$$ 2+2^2+\cdots+2^{m-1}=2^m-2
$$
である。
したがって、第 $m$ 群の先頭は
$$ a_{2^m-1}
$$
であり、第 $m$ 群には $2^m$ 個の項があるので、最後の項は
$$ a_{(2^m-1)+(2^m-1)}=a_{2^{m+1}-2}
$$
である。
$a_n=2n-1$ より、第 $m$ 群の最後の項は
$$ a_{2^{m+1}-2} =2(2^{m+1}-2)-1 =2^{m+2}-5
$$
である。
次に、第 $m$ 群に含まれる項の総和を求める。
第 $m$ 群は
$$ a_{2^m-1},a_{2^m},\ldots,a_{2^{m+1}-2}
$$
である。奇数列の初めから第 $N$ 項までの和は
$$ 1+3+5+\cdots+(2N-1)=N^2
$$
であるから、第 $m$ 群の総和は
$$ (2^{m+1}-2)^2-(2^m-2)^2
$$
である。
これを整理すると
$$ \begin{aligned} (2^{m+1}-2)^2-(2^m-2)^2 &=\{(2^{m+1}-2)-(2^m-2)\}\{(2^{m+1}-2)+(2^m-2)\}\\ &=2^m(3\cdot 2^m-4)\\ &=3\cdot 4^m-2^{m+2} \end{aligned}
$$
となる。
最後に、$2003$ がどの群の何番目かを調べる。
$$ 2003=2n-1
$$
とおくと、
$$ 2n=2004
$$
より
$$ n=1002
$$
である。つまり $2003$ は数列 ${a_n}$ の第 $1002$ 項である。
第 $k$ 群は
$$ a_{2^k-1},a_{2^k},\ldots,a_{2^{k+1}-2}
$$
であるから、
$$ 2^k-1\leq 1002\leq 2^{k+1}-2
$$
を満たす $k$ を求めればよい。
$$ 2^9=512,\qquad 2^{10}=1024
$$
より、第 $9$ 群は
$$ a_{511},a_{512},\ldots,a_{1022}
$$
である。したがって、$a_{1002}=2003$ は第 $9$ 群に含まれる。
第 $9$ 群の先頭は $a_{511}$ であるから、$a_{1002}$ は先頭から
$$ 1002-511+1=492
$$
番目である。
よって
$$ k=9,\qquad j=492
$$
である。
解説
この問題では、数列そのものよりも「群に分けたときの項番号」を正確に追うことが重要である。
第 $m$ 群の直前までに何個の項があるかを数えると、第 $m$ 群の先頭と最後の項番号が決まる。そこから $a_n=2n-1$ を使えば、最後の項や群の総和を求められる。
また、$2003$ が何番目の項かを先に求めると、群の範囲との比較だけで $k$ と $j$ が決まる。値そのものだけを見て判断しようとするとずれやすいので、必ず項番号に直すのが安全である。
答え
**(1)**
第 $m$ 群の最後の項は
$$ 2^{m+2}-5
$$
である。
**(2)**
第 $m$ 群に含まれる項の総和は
$$ 3\cdot 4^m-2^{m+2}
$$
である。
**(3)**
$$ k=9,\qquad j=492
$$
である。