基礎問題集
数学B 数列「群数列」の問題10 解説
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解説
方針・初手
各群に含まれる個数が $1,2,3,\ldots$ と増えていくので、第 $n$ 群の前までに何個の奇数が並んでいるかを数える。第 $n$ 群の最初の数は、「奇数列全体の何番目か」を使って求めるのが基本である。
解法1
奇数列
$$ 1,3,5,\ldots
$$
の第 $k$ 項は
$$ 2k-1
$$
である。
第 $n$ 群の前には、第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までがあるので、そこに含まれる奇数の個数は
$$ 1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}
$$
である。
したがって、第 $n$ 群の最初の数は、奇数列全体で
$$ \frac{n(n-1)}{2}+1
$$
番目の奇数である。よって、その値は
$$ 2\left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)-1=n(n-1)+1
$$
となる。
（1） 第 $10$ 群の最初の数は
$$ 10\cdot 9+1=91
$$
である。
次に、第 $n$ 群の最後の数を求める。第 $n$ 群には $n$ 個の奇数があり、公差は $2$ であるから、最後の数は
$$ n(n-1)+1+2(n-1)=n^2+n-1
$$
である。
したがって、第 $n$ 群の和は
$$ \frac{n{(n^2-n+1)+(n^2+n-1)}}{2}
$$
である。これを整理すると
$$ \frac{n\cdot 2n^2}{2}=n^3
$$
となる。
（2） 第 $8$ 群の数の和は
$$ 8^3=512
$$
である。
**(3)**
$999$ が奇数列全体で何番目の数かを求める。
$$ 999=2k-1
$$
とおくと、
$$ 2k=1000
$$
より
$$ k=500
$$
である。つまり、$999$ は奇数列全体の第 $500$ 項である。
第 $n$ 群までに含まれる奇数の個数は
$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
であるから、
$$ \frac{31\cdot 32}{2}=496,\qquad \frac{32\cdot 33}{2}=528
$$
である。
よって、第 $31$ 群までで $496$ 個、第 $32$ 群までで $528$ 個の奇数が含まれる。したがって、第 $500$ 項である $999$ は第 $32$ 群に入る。
第 $32$ 群の中での番号は
$$ 500-496=4
$$
である。
したがって、$999$ は第 $32$ 群の第 $4$ 番目の数である。
解説
この問題では、各群を直接書き出すのではなく、「第 $n$ 群の前までに何個の数があるか」を考えることが重要である。
第 $n$ 群の最初の数は、奇数列全体における項番号から求めると扱いやすい。また、第 $n$ 群の和が $n^3$ になることを導くと、群の和の計算も簡単になる。
$999$ の位置を求めるときは、まず奇数列全体で何番目かを求め、その項番号がどの群の範囲に入るかを調べる。
答え
**(1)**
第 $10$ 群の最初の数は
$$ 91
$$
**(2)**
第 $8$ 群の数の和は
$$ 512
$$
**(3)**
$999$ は
$$ \text{第 }32\text{ 群の第 }4\text{ 番目}
$$
である。