基礎問題集
数学B 数列「数学的帰納法」の問題1 解説
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解説
方針・初手
数学的帰納法では、$n=1$ の成立を確認したあと、$n=k$ で成立すると仮定して $n=k+1$ での成立を示す。
帰納法の途中では、
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{k}
$$
を利用し、そこに $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$ を加えたものが $\sqrt{k+1}$ 以上になることを示せばよい。
解法1
まず、$n=1$ のとき、
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}=1,\qquad \sqrt{1}=1
$$
であるから、
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}\geq \sqrt{1}
$$
が成り立つ。
次に、ある正の整数 $k$ に対して
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{k}
$$
が成り立つと仮定する。
このとき、
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} &\geq \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{aligned}
$$
である。
したがって、右辺が $\sqrt{k+1}$ 以上であることを示せばよい。すなわち、
$$ \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\geq \sqrt{k+1}
$$
を示せばよい。
これは次のように変形できる。
$$ \frac{1}{\sqrt{k+1}}\geq \sqrt{k+1}-\sqrt{k}
$$
ここで、
$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} =\frac{(k+1)-k}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} =\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}
$$
である。
また、$k$ は正の整数であるから $\sqrt{k}>0$ であり、
$$ \sqrt{k+1}+\sqrt{k}>\sqrt{k+1}
$$
が成り立つ。したがって、正の数の逆数の大小関係より、
$$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k+1}}
$$
である。
よって、
$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k}<\frac{1}{\sqrt{k+1}}
$$
となるから、
$$ \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}
$$
が成り立つ。
したがって、
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\geq \sqrt{k+1}
$$
である。
以上より、$n=1$ で成立し、$n=k$ で成立すると仮定すれば $n=k+1$ でも成立する。
ゆえに数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ に対して
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt{n}
$$
が成り立つ。
解説
帰納法の核心は、仮定から
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{k}
$$
まではすぐに使えるが、そこから $\sqrt{k+1}$ まで届くかを確認する点にある。
そのためには、追加される項 $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$ が、$\sqrt{k}$ から $\sqrt{k+1}$ までの増加分
$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k}
$$
以上であることを示せばよい。
この増加分は有理化によって
$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} =\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}
$$
と表せる。この形にすると、分母が $\sqrt{k+1}$ より大きいので、
$$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k+1}}
$$
がすぐに分かる。
したがって、帰納法の一段階が成立する。
答え
すべての正の整数 $n$ に対して、
$$ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt{n}
$$
が成り立つ。