解説

方針・初手

数学的帰納法で示すため、$n=2$ のときに成り立つことを確認し、$n$ のときに成り立つと仮定して $n+1$ のときに成り立つことを示す。

帰納法の途中では、追加される項 $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ を、右辺の差

$$ 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}

$$

と比較するのが要点である。

解法1

命題 $P(n)$ を

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2

$$

とする。ただし $n$ は $2$ 以上の自然数である。

まず $n=2$ のときを確認する。このとき左辺は $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$、右辺は $2\sqrt{2}-2$ である。

示すべきことは

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}<2\sqrt{2}-2

$$

である。両辺は正であり、右辺との差を調べると

$$ 2\sqrt{2}-2-\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{4-2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} =\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$$

となる。ここで $3>2\sqrt{2}$ は、両辺が正であり $9>8$ から成り立つ。したがって

$$ \frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}>0

$$

であるから、$P(2)$ は成り立つ。

次に、ある $n\geqq 2$ に対して $P(n)$ が成り立つと仮定する。すなわち

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2

$$

と仮定する。

このとき

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} &<2\sqrt{n}-2+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{aligned}

$$

である。

よって、あとは

$$ 2\sqrt{n}-2+\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-2

$$

を示せばよい。これは

$$ \frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}

$$

を示すことと同じである。

右辺を有理化の形で変形すると

$$ 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} =2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) =\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

$$

である。

ここで $n<n+1$ より

$$ \sqrt{n}<\sqrt{n+1}

$$

であるから、

$$ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}

$$

となる。すべて正の数なので、逆数をとると不等号の向きが反転して

$$ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{2\sqrt{n+1}}

$$

である。両辺を $2$ 倍して

$$ \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}

$$

を得る。したがって

$$ 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}

$$

である。

ゆえに

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} &<2\sqrt{n}-2+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\ &<2\sqrt{n}-2+2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}\\ &=2\sqrt{n+1}-2 \end{aligned}

$$

となり、$P(n+1)$ も成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての $2$ 以上の自然数 $n$ に対して

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2

$$

が成り立つ。

解説

この問題の核心は、帰納法の仮定に新しく加わる項 $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ を、右辺の増加量 $2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}$ で上から押さえる点にある。

特に

$$ 2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} =\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

$$

と変形すると、$\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$ から

$$ \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}

$$

が得られる。この比較ができれば、帰納法のステップは自然につながる。

左辺の和を直接計算するのではなく、右辺の増加量に合わせて項を評価することが、この種の不等式証明の典型的な処理である。

答え

すべての $2$ 以上の自然数 $n$ に対して、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2

$$

が成り立つ。