解説

方針・初手

部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とおく。条件は

$$ S_n^2=\sum_{k=1}^n a_k^3

$$

である。$n$ の式と $n-1$ の式を引くと、$a_n$ と $S_{n-1}$ の関係式が得られる。そこから $a_n=n$ を数学的帰納法で示す。

解法1

$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ とおく。

まず $n=1$ のとき、条件より

$$ a_1^2=a_1^3

$$

である。$a_1$ は正の実数だから、両辺を $a_1^2$ で割って

$$ a_1=1

$$

を得る。

次に $n\geqq 2$ とする。条件から

$$ S_n^2=\sum_{k=1}^n a_k^3

$$

また

$$ S_{n-1}^2=\sum_{k=1}^{n-1} a_k^3

$$

である。これらを引くと

$$ S_n^2-S_{n-1}^2=a_n^3

$$

である。ここで $S_n=S_{n-1}+a_n$ より、

$$ (S_{n-1}+a_n)^2-S_{n-1}^2=a_n^3

$$

となる。左辺を展開すると

$$ 2a_nS_{n-1}+a_n^2=a_n^3

$$

である。$a_n$ は正の実数なので両辺を $a_n$ で割ることができ、

$$ 2S_{n-1}+a_n=a_n^2

$$

すなわち

$$ a_n^2-a_n=2S_{n-1}

$$

を得る。

ここで、すべての $n\geqq 1$ に対して $a_n=n$ であることを数学的帰納法で示す。

$n=1$ では、すでに $a_1=1$ を示した。

$n\geqq 2$ とし、$a_1=1,\ a_2=2,\ldots,\ a_{n-1}=n-1$ が成り立つと仮定する。このとき

$$ S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}

$$

である。したがって

$$ a_n^2-a_n=2S_{n-1}=n(n-1)

$$

となる。よって

$$ a_n^2-a_n-n(n-1)=0

$$

である。左辺を因数分解すると

$$ (a_n-n)(a_n+n-1)=0

$$

である。

ここで $a_n$ は正の実数であり、$n\geqq 2$ だから $a_n+n-1>0$ である。したがって

$$ a_n-n=0

$$

となり、

$$ a_n=n

$$

を得る。

よって、すべての $n\geqq 1$ に対して

$$ a_n=n

$$

である。

したがって

$$ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_3=3,\quad a_{99}=99

$$

である。

また、

$$ \sum_{k=1}^{10}a_k^2=\sum_{k=1}^{10}k^2

$$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^{10}k^2=\frac{10\cdot 11\cdot 21}{6}=385

$$

となる。

解説

この問題の中心は、与えられた条件をそのまま扱うのではなく、$n$ の式と $n-1$ の式を引くことである。これにより、和全体の条件から各項 $a_n$ に関する関係式

$$ a_n^2-a_n=2S_{n-1}

$$

が得られる。

この式は、前までの項が分かれば次の項が決まる形になっている。$a_n$ が正の実数であることにより、二次方程式の候補のうち負になる解を除外できるため、帰納法で $a_n=n$ が一意に定まる。

また、この結果は有名な恒等式

$$ (1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3

$$

とも一致している。

答え

$$ \boxed{[ア]=1,\quad [イ]=2,\quad [ウ]=3,\quad [エ]=99,\quad [オ]=385}

$$