解説

方針・初手

$a_{k+1}$ を $a_k$ と直接結びつけるより、分子の和

$$ 1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}

$$

に着目する。帰納法の仮定からこの和の下からの評価を得て、それを $a_{k+1}$ に代入する。

解法1

自然数 $n$ に対して

$$ a_n=\frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}

$$

とする。

まず $n=1$ のとき、

$$ a_1=\frac{1}{1}=1

$$

であり、

$$ \frac{2}{3}<1

$$

だから、成り立つ。

次に、ある自然数 $k$ について

$$ \frac{2k}{3}<a_k

$$

が成り立つと仮定する。すなわち、

$$ \frac{2k}{3}<\frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{k}}{\sqrt{k}}

$$

である。両辺に $\sqrt{k}>0$ を掛けると、

$$ 1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{k}>\frac{2k\sqrt{k}}{3}

$$

を得る。

このとき、

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &=\frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}} \\ &>\frac{\frac{2k\sqrt{k}}{3}+\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}} \\ &=\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{k+1}}+1 \end{aligned}

$$

である。

ここで、$k\geqq1$ に対して

$$ \sqrt{\frac{k}{k+1}}>1-\frac{1}{2k}

$$

が成り立つことを示す。右辺は正であり、

$$ \begin{aligned} \frac{k}{k+1}-\left(1-\frac{1}{2k}\right)^2 &=\frac{k}{k+1}-\frac{(2k-1)^2}{4k^2} \\ &=\frac{4k^3-(k+1)(4k^2-4k+1)}{4k^2(k+1)} \\ &=\frac{3k-1}{4k^2(k+1)} \end{aligned}

$$

である。$k\geqq1$ より $3k-1>0$ だから、

$$ \frac{k}{k+1}>\left(1-\frac{1}{2k}\right)^2

$$

となり、

$$ \sqrt{\frac{k}{k+1}}>1-\frac{1}{2k}

$$

が従う。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &>\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{k+1}}+1 \\ &>\frac{2k}{3}\left(1-\frac{1}{2k}\right)+1 \\ &=\frac{2k}{3}-\frac{1}{3}+1 \\ &=\frac{2k+2}{3} \\ &=\frac{2(k+1)}{3} \end{aligned}

$$

である。

よって、$n=k$ のとき成り立つならば、$n=k+1$ のときも成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について

$$ \frac{2n}{3}<a_n

$$

が成り立つ。

解説

この問題では、$a_{k+1}$ を $a_k$ だけで表そうとすると平方根の分母が変わるため扱いにくい。そこで、分子の和をいったん

$$ 1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{k}>\frac{2k\sqrt{k}}{3}

$$

と評価してから、$a_{k+1}$ に代入するのが自然である。

最後に必要になる評価は

$$ \sqrt{\frac{k}{k+1}}>1-\frac{1}{2k}

$$

である。この不等式を補助的に示すことで、帰納法のステップが閉じる。

答え

すべての自然数 $n$ について、

$$ \frac{2n}{3}<a_n

$$

が成り立つ。