解説

方針・初手

この漸化式は

$$ a_{n+1}=2t a_n-a_{n-1}

$$

であり、$t=\cos\theta$ のとき三角関数の加法公式と対応する。また、$t\geqq 1$ の場合は帰納法で $a_n$ の正値性と増加性を同時に示す。$t\leqq -1$ の場合は符号が交互に変わるので、$(-1)^{n-1}a_n$ を考えて $t\geqq 1$ の場合に帰着させる。

解法1

**(1)**

$t\geqq 1$ のとき、数学的帰納法により

$$ 0<a_1<a_2<\cdots<a_n

$$

がすべての $n$ について成り立つことを示す。

まず

$$ a_1=1,\qquad a_2=2t

$$

であり、$t\geqq 1$ より

$$ 0<a_1=1<2t=a_2

$$

である。

次に、ある $n\geqq 2$ について

$$ 0<a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}<a_n

$$

が成り立つと仮定する。このとき $a_n>a_{n-1}>0$ である。

漸化式より

$$ a_{n+1}-a_n =2t a_n-a_{n-1}-a_n =(2t-1)a_n-a_{n-1}

$$

である。ここで $t\geqq 1$ より $2t-1\geqq 1$ だから、

$$ (2t-1)a_n-a_{n-1}\geqq a_n-a_{n-1}>0

$$

となる。したがって

$$ a_{n+1}>a_n

$$

である。また $a_n>0$ だから $a_{n+1}>a_n>0$ も従う。

よって帰納法により、すべての $n$ について

$$ 0<a_1<a_2<a_3<\cdots

$$

が成り立つ。

**(2)**

$t\leqq -1$ とする。符号の交代を取り除くため、

$$ b_n=(-1)^{n-1}a_n

$$

とおく。このとき

$$ a_n=(-1)^{n-1}b_n

$$

である。

初項は

$$ b_1=a_1=1,\qquad b_2=-a_2=-2t

$$

である。$t\leqq -1$ より $-t\geqq 1$ なので

$$ b_2=-2t=2(-t)

$$

である。

また漸化式に $a_n=(-1)^{n-1}b_n$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} (-1)^n b_{n+1} &=2t(-1)^{n-1}b_n-(-1)^{n-2}b_{n-1} \\ &=(-1)^n{-2t b_n-b_{n-1}} \end{aligned}

$$

より

$$ b_{n+1}=2(-t)b_n-b_{n-1}

$$

を得る。

ここで $-t\geqq 1$ であり、$b_1=1,\ b_2=2(-t)$ であるから、（1） の結果を $-t$ に対して適用できる。したがって

$$ 0<b_1<b_2<b_3<\cdots

$$

である。

一方、$b_n=(-1)^{n-1}a_n$ だから

$$ |a_n|=|b_n|=b_n

$$

である。よって

$$ 0<|a_1|<|a_2|<|a_3|<\cdots

$$

が成り立つ。

**(3)**

$-1<t<1$ とする。このとき、ある $\theta$ が存在して

$$ 0<\theta<\pi,\qquad t=\cos\theta

$$

と表せる。

この $\theta$ に対して

$$ a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}

$$

であることを数学的帰納法で示す。$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta\neq 0$ である。

まず $n=1$ のとき

$$ \frac{\sin\theta}{\sin\theta}=1=a_1

$$

である。また $n=2$ のとき

$$ \begin{aligned} \frac{\sin2\theta}{\sin\theta} &= \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta} \\ 2\cos\theta \\ 2t \\ a_2 \end{aligned} $$

である。

次に、ある $n\geqq 2$ について

$$ a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}, \qquad a_{n-1}=\frac{\sin (n-1)\theta}{\sin\theta}

$$

が成り立つと仮定する。このとき漸化式より

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=2t a_n-a_{n-1} \\ &=2\cos\theta\cdot \frac{\sin n\theta}{\sin\theta} -\frac{\sin (n-1)\theta}{\sin\theta} \\ &=\frac{2\cos\theta\sin n\theta-\sin (n-1)\theta}{\sin\theta} \end{aligned}

$$

である。

ここで三角関数の公式

$$ \begin{aligned} 2\cos\theta\sin n\theta &= \sin(n+1)\theta+\sin(n-1)\theta \end{aligned} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} 2\cos\theta\sin n\theta-\sin(n-1)\theta &= \sin(n+1)\theta \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta} \end{aligned} $$

である。

よって帰納法により、すべての $n\geqq 1$ に対して

$$ a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}

$$

が成り立つ。

解説

この数列は、三角関数の漸化式

$$ \sin(n+1)\theta=2\cos\theta\sin n\theta-\sin(n-1)\theta

$$

と同じ形をしている。そのため、$-1<t<1$ では $t=\cos\theta$ とおくのが自然である。

一方、$t\geqq 1$ では三角関数表示よりも、漸化式から直接

$$ a_{n+1}-a_n=(2t-1)a_n-a_{n-1}

$$

を調べる方が簡潔である。$t\leqq -1$ では $a_n$ 自体は符号が交互に変わるため、絶対値を見るには $b_n=(-1)^{n-1}a_n$ とおいて正の増加列に直すのが要点である。

答え

**(1)**

$t\geqq 1$ のとき、

$$ 0<a_1<a_2<a_3<\cdots

$$

である。

**(2)**

$t\leqq -1$ のとき、

$$ 0<|a_1|<|a_2|<|a_3|<\cdots

$$

である。

**(3)**

$-1<t<1$ のとき、$0<\theta<\pi$ かつ $t=\cos\theta$ となる $\theta$ を用いて、

$$ a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\qquad(n\geqq 1)

$$

である。