基礎問題集
数学B 数列「数学的帰納法」の問題19 解説
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解説
方針・初手
$n>3$ である自然数 $n$ について示すので、まず最小の場合 $n=4$ を確認する。
そのうえで、ある $k \geqq 4$ で $k!>2^k$ が成り立つと仮定し、$(k+1)!>2^{k+1}$ を導く。
解法1
まず、$n=4$ のとき、
$$ 4!=24,\qquad 2^4=16
$$
であるから、
$$ 4!>2^4
$$
が成り立つ。
次に、$k \geqq 4$ とし、
$$ k!>2^k
$$
が成り立つと仮定する。
このとき、
$$ (k+1)!=(k+1)k!
$$
である。帰納法の仮定より $k!>2^k$ だから、
$$ (k+1)!=(k+1)k!>(k+1)2^k
$$
である。
また、$k \geqq 4$ より $k+1 \geqq 5$ であり、特に
$$ k+1>2
$$
である。したがって、
$$ (k+1)2^k>2\cdot 2^k=2^{k+1}
$$
となる。
よって、
$$ (k+1)!>2^{k+1}
$$
が成り立つ。
以上より、$n=4$ で成り立ち、$n=k$ で成り立つならば $n=k+1$ でも成り立つことが示された。
数学的帰納法により、すべての自然数 $n>3$ について
$$ n!>2^n
$$
が成り立つ。
解説
この問題では、階乗の関係
$$ (k+1)!=(k+1)k!
$$
を使うことが要点である。
帰納法の仮定 $k!>2^k$ を利用すると、$(k+1)!$ は $(k+1)2^k$ より大きいことが分かる。あとは、$k \geqq 4$ なら $k+1>2$ であることから、$(k+1)2^k>2^{k+1}$ が従う。
初項を $n=4$ から確認する点を落とさないことが重要である。
答え
すべての自然数 $n>3$ について、
$$ n!>2^n
$$
が成り立つ。