基礎問題集
数学B 数列「数学的帰納法」の問題22 解説
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解説
方針・初手
数学的帰納法では、まず $n=1$ のときに成り立つことを確認し、次に $n=k$ のとき成り立つと仮定して $n=k+1$ のときも成り立つことを示す。
ここでは、左辺に次の項 $k+1$ を加えると右辺がどのように変形されるかを見る。
解法1
$n$ を自然数とする。命題
$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
を数学的帰納法で証明する。
まず、$n=1$ のとき、左辺は
$$ 1
$$
であり、右辺は
$$ \frac{1(1+1)}{2}=1
$$
である。したがって、$n=1$ のとき命題は成り立つ。
次に、ある自然数 $k$ について
$$ 1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}
$$
が成り立つと仮定する。
このとき、$n=k+1$ の左辺は
$$ 1+2+3+\cdots+k+(k+1)
$$
である。帰納法の仮定を用いると、
$$ \begin{aligned} 1+2+3+\cdots+k+(k+1) &=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) \\ &=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \\ &=\frac{(k+1)(k+2)}{2} \end{aligned}
$$
となる。
これは
$$ \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}
$$
に等しい。したがって、$n=k+1$ のときも命題は成り立つ。
以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について
$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
が成り立つ。
解説
この問題では、$n=k$ の場合の式に次の項 $k+1$ を加えると、$n=k+1$ の場合の式になることを利用する。
帰納法の仮定は
$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}
$$
であり、これをそのまま $1+2+\cdots+k+(k+1)$ の前半部分に代入することが重要である。
最後に
$$ \frac{(k+1)(k+2)}{2}
$$
が $n=k+1$ のときの右辺
$$ \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}
$$
になっていることを確認すればよい。
答え
すべての自然数 $n$ について、
$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
が成り立つ。