解説

方針・初手

左辺を $S_n$ とおき、命題

$$ P(n):\quad \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}

$$

がすべての自然数 $n$ について成り立つことを、数学的帰納法で証明する。

初手は $n=1$ の確認であり、その後 $n=k$ で成り立つと仮定して、両辺に次の項 $\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$ を加え、$n=k+1$ の形に変形する。

解法1

まず $n=1$ のとき、左辺は

$$ \frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}

$$

であり、右辺は

$$ \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}

$$

である。したがって、$n=1$ のとき等式は成り立つ。

次に、ある自然数 $k$ について

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}

$$

が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ の左辺は

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}

$$

である。帰納法の仮定を用いると、これは

$$ \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}

$$

となる。通分して整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} &=\frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\\ &=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}\\ &=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}\\ &=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\\ &=\frac{k+1}{k+2} \end{aligned}

$$

である。

これは

$$ \frac{k+1}{(k+1)+1}

$$

に等しいので、$n=k+1$ のときも等式が成り立つ。

以上より、$n=1$ で成り立ち、$n=k$ で成り立つならば $n=k+1$ でも成り立つ。したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}

$$

が成り立つ。

解説

この問題では、左辺の和を直接計算するのではなく、「$n=k$ までの和が分かっている」と仮定し、そこに次の項を1つ加えることが重要である。

帰納法の仮定を使う箇所は、

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}

$$

を

$$ \frac{k}{k+1}

$$

に置き換える部分である。

その後は、次の項

$$ \frac{1}{(k+1)(k+2)}

$$

を加えて、目標である

$$ \frac{k+1}{k+2}

$$

に変形できればよい。

答え

すべての自然数 $n$ について、

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}

$$

が成り立つ。