基礎問題集
数学B 数列「数学的帰納法」の問題25 解説
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解説
方針・初手
部分和を $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ とおくと、条件は $0\leqq 3a_n\leqq S_n$ と書ける。
特に $n=1$ の条件から $a_1=0$ がすぐに出る。あとは、$a_1,\ldots,a_{n-1}$ がすべて $0$ なら $S_n=a_n$ となることを使い、数学的帰納法で示す。
解法1
$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ とおく。条件より、すべての正の整数 $n$ に対して
$$ 0\leqq 3a_n\leqq S_n
$$
が成り立つ。
まず $n=1$ のとき、
$$ 0\leqq 3a_1\leqq a_1
$$
である。したがって $a_1\geqq 0$ かつ $3a_1\leqq a_1$ であるから、
$$ 2a_1\leqq 0
$$
を得る。よって $a_1\leqq 0$ である。一方で $a_1\geqq 0$ だから、
$$ a_1=0
$$
である。
次に、ある正の整数 $m$ に対して
$$ a_1=a_2=\cdots=a_m=0
$$
が成り立つと仮定する。このとき、$n=m+1$ について条件を用いると、
$$ 0\leqq 3a_{m+1}\leqq \sum_{k=1}^{m+1}a_k
$$
である。
帰納法の仮定より $a_1,\ldots,a_m$ はすべて $0$ なので、
$$ \sum_{k=1}^{m+1}a_k=a_{m+1}
$$
である。したがって
$$ 0\leqq 3a_{m+1}\leqq a_{m+1}
$$
となる。
これより先ほどと同様に、
$$ 2a_{m+1}\leqq 0
$$
である。一方、$0\leqq 3a_{m+1}$ より $a_{m+1}\geqq 0$ だから、
$$ a_{m+1}=0
$$
を得る。
よって、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ に対して
$$ a_n=0
$$
である。
解説
この問題では、条件の右端に部分和 $\sum_{k=1}^{n}a_k$ があるため、まず $n=1$ を代入することが重要である。
$n=1$ では部分和が $a_1$ そのものになるので、
$$ 0\leqq 3a_1\leqq a_1
$$
という形になり、$a_1=0$ が強制される。
その後は、前までの項がすべて $0$ であれば、次の部分和は次の項だけになる。つまり
$$ a_1=\cdots=a_m=0
$$
ならば
$$ \sum_{k=1}^{m+1}a_k=a_{m+1}
$$
である。したがって同じ議論が繰り返せる。
このように、「最初の項が $0$ に固定されること」と「それ以降も同じ形の不等式に戻ること」を見るのが本問の中心である。
答え
すべての正の整数 $n$ に対して
$$ a_n=0
$$
である。