基礎問題集
数学B 数列「数学的帰納法」の問題26 解説
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解説
方針・初手
左辺の積をそのまま展開するのではなく、
$$ P_k=(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_k),\qquad S_k=a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots+\frac{a_k}{2^{k-1}}
$$
とおき、数学的帰納法で
$$ P_k>1-S_k
$$
を示す。仮定 $a_j>\frac12$ は、帰納法の途中で $S_k$ の下からの評価に使う。
解法1
$k=2$ のとき、
$$ \begin{aligned} P_2-(1-S_2) &=(1-a_1)(1-a_2)-\left(1-a_1-\frac{a_2}{2}\right)\\ &=1-a_1-a_2+a_1a_2-1+a_1+\frac{a_2}{2}\\ &=a_2\left(a_1-\frac12\right). \end{aligned}
$$
ここで $a_2>0$ かつ $a_1>\frac12$ であるから、
$$ a_2\left(a_1-\frac12\right)>0
$$
である。したがって
$$ P_2>1-S_2
$$
が成り立つ。
次に、ある $k\geqq 2$ について
$$ P_k>1-S_k
$$
が成り立つと仮定する。このとき $1-a_{k+1}>0$ であるから、
$$ P_{k+1}=P_k(1-a_{k+1})>(1-S_k)(1-a_{k+1})
$$
である。
あとは
$$ (1-S_k)(1-a_{k+1})>1-S_k-\frac{a_{k+1}}{2^k}
$$
を示せばよい。左辺から右辺を引くと、
$$ \begin{aligned} &(1-S_k)(1-a_{k+1})-\left(1-S_k-\frac{a_{k+1}}{2^k}\right)\\ &=1-S_k-a_{k+1}+a_{k+1}S_k-1+S_k+\frac{a_{k+1}}{2^k}\\ &=a_{k+1}\left(S_k-1+\frac{1}{2^k}\right). \end{aligned}
$$
ここで各 $j$ について $a_j>\frac12$ であるから、
$$ \begin{aligned} S_k &=a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots+\frac{a_k}{2^{k-1}}\\ &>\frac12\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\\ &=\frac12\cdot \frac{1-\left(\frac12\right)^k}{1-\frac12}\\ &=1-\frac{1}{2^k}. \end{aligned}
$$
よって
$$ S_k-1+\frac{1}{2^k}>0
$$
であり、また $a_{k+1}>0$ なので、
$$ a_{k+1}\left(S_k-1+\frac{1}{2^k}\right)>0
$$
となる。したがって
$$ (1-S_k)(1-a_{k+1})>1-S_k-\frac{a_{k+1}}{2^k}
$$
である。
以上より、
$$ P_{k+1}>1-S_k-\frac{a_{k+1}}{2^k}
$$
すなわち
$$ (1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_{k+1})
>
1-\left(a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots+\frac{a_k}{2^{k-1}}+\frac{a_{k+1}}{2^k}\right)
$$
が成り立つ。
ゆえに数学的帰納法により、すべての $n\geqq 2$ について
$$ (1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n)
>
1-\left(a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots+\frac{a_n}{2^{n-1}}\right)
$$
が成り立つ。
解説
この問題では、左辺を展開して比較しようとすると項数が増えて扱いにくい。そこで、積の形が $n$ から $n+1$ に移るとき
$$ P_{k+1}=P_k(1-a_{k+1})
$$
となることに注目し、数学的帰納法で処理するのが自然である。
重要なのは、仮定 $a_j>\frac12$ から
$$ S_k>1-\frac{1}{2^k}
$$
が得られる点である。この評価により、帰納法の途中で必要になる差
$$ a_{k+1}\left(S_k-1+\frac{1}{2^k}\right)
$$
が正であることが示せる。
答え
すべての $n\geqq 2$ と $\frac12<a_j<1\ (j=1,2,\ldots,n)$ に対して、
$$ (1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n)
>
1-\left(a_1+\frac{a_2}{2}+\cdots+\frac{a_n}{2^{n-1}}\right)
$$
が成り立つ。