解説

方針

与えられた式を

$$ S_n=2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1} $$

とおく。まず $n=1$ のときに成り立つことを確かめる。次に $n=k$ で $5$ の倍数であると仮定し，$n=k+1$ のときも $5$ の倍数になることを示す。

解説

$$ S_n=2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1} $$

とおく。

基底

$n=1$ のとき，

$$ S_1=2^{1-1}+3^{3\cdot 1-2}+7^{1-1}=1+3+1=5 $$

である。したがって $S_1$ は $5$ の倍数である。

帰納段階

ある自然数 $k$ に対して，

$$ S_k=2^{k-1}+3^{3k-2}+7^{k-1} $$

が $5$ の倍数であると仮定する。

このとき

$$ \begin{aligned} S_{k+1} &=2^k+3^{3(k+1)-2}+7^k \\ &=2\cdot 2^{k-1}+3^{3k+1}+7\cdot 7^{k-1} \\ &=2\cdot 2^{k-1}+27\cdot 3^{3k-2}+7\cdot 7^{k-1}. \end{aligned} $$

ここで

$$ 27\equiv 2 \pmod{5},\qquad 7\equiv 2 \pmod{5} $$

だから，

$$ \begin{aligned} S_{k+1} &\equiv 2\cdot 2^{k-1}+2\cdot 3^{3k-2}+2\cdot 7^{k-1} \pmod{5} \\ &=2\left(2^{k-1}+3^{3k-2}+7^{k-1}\right) \\ &=2S_k \pmod{5}. \end{aligned} $$

仮定より $S_k\equiv 0\pmod{5}$ なので，

$$ S_{k+1}\equiv 2S_k\equiv 0\pmod{5} $$

となる。したがって $S_{k+1}$ も $5$ の倍数である。

以上より，すべての自然数 $n$ に対して

$$ 2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1} $$

は $5$ の倍数である。

補足

実は

$$ 3^{3n-2}=3\cdot 27^{\,n-1}\equiv 3\cdot 2^{n-1}\pmod{5}, \qquad 7^{n-1}\equiv 2^{n-1}\pmod{5} $$

なので，

$$ 2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}\equiv 5\cdot 2^{n-1}\equiv 0\pmod{5} $$

と一気に見てもよい。ただしここでは設問に合わせて数学的帰納法で示した。

答え

$$ 2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1} $$

は，すべての自然数 $n$ に対して $5$ の倍数である。