解説

方針・初手

漸化式を繰り返すと、$a_n$ は交代和

$$ a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}

$$

で表される。偶数番目どうし、奇数番目どうしを比較するときは、間の2項だけを取り出せばよい。また、$0<a_n<1$ は偶数の場合と奇数の場合に分け、正負の項を組にして評価する。

解法1

まず、漸化式より

$$ a_n=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} =\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}

$$

である。

**(1)**

$m$ を自然数とする。

まず、$a_{2m}$ と $a_{2m-2}$ の差を調べる。

$$ \begin{aligned} a_{2m}-a_{2m-2} &=\frac{(-1)^{2m-1}}{(2m-1)!}+\frac{(-1)^{2m}}{(2m)!} \\ &=-\frac{1}{(2m-1)!}+\frac{1}{(2m)!} \\ &=-\frac{2m}{(2m)!}+\frac{1}{(2m)!} \\ &=-\frac{2m-1}{(2m)!}. \end{aligned}

$$

ここで $m$ は自然数だから $2m-1>0$ であり、

$$ a_{2m}-a_{2m-2}<0

$$

となる。したがって

$$ a_{2m-2}>a_{2m}

$$

である。

次に、$a_{2m+1}$ と $a_{2m-1}$ の差を調べる。

$$ \begin{aligned} a_{2m+1}-a_{2m-1} &=\frac{(-1)^{2m}}{(2m)!}+\frac{(-1)^{2m+1}}{(2m+1)!} \\ &=\frac{1}{(2m)!}-\frac{1}{(2m+1)!} \\ &=\frac{2m+1}{(2m+1)!}-\frac{1}{(2m+1)!} \\ &=\frac{2m}{(2m+1)!}. \end{aligned}

$$

$m$ は自然数だから $2m>0$ であり、

$$ a_{2m+1}-a_{2m-1}>0

$$

となる。したがって

$$ a_{2m-1}<a_{2m+1}

$$

である。

以上より、

$$ a_{2m-2}>a_{2m}, \qquad a_{2m-1}<a_{2m+1}

$$

が示された。

**(2)**

$n\geqq 2$ とする。偶数の場合と奇数の場合に分ける。

**(i) $n$ が偶数のとき**

$n=2m$ とおく。ただし $m$ は自然数である。

まず、$a_{2m}$ の正値性を示す。$a_{2m}$ は

$$ a_{2m} =1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots-\frac{1}{(2m-1)!}+\frac{1}{(2m)!}

$$

である。したがって

$$ a_{2m} =\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right) +\left(\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{(2m-2)!}-\frac{1}{(2m-1)!}\right) +\frac{1}{(2m)!}

$$

と書ける。ただし、$m=1$ のときは最後の $\frac{1}{2!}$ だけが残る。

各 $j$ について

$$ \frac{1}{(2j)!}-\frac{1}{(2j+1)!} =\frac{2j}{(2j+1)!}>0

$$

であり、さらに $\frac{1}{(2m)!}>0$ である。よって

$$ a_{2m}>0

$$

である。

次に、(1)より偶数番目の列は

$$ a_0>a_2>a_4>\cdots>a_{2m}

$$

となる。$a_0=1$ だから

$$ a_{2m}<1

$$

である。

したがって、偶数 $n=2m$ のとき

$$ 0<a_n<1

$$

が成り立つ。

**(ii) $n$ が奇数のとき**

$n=2m+1$ とおく。$n\geqq 2$ で奇数だから $m\geqq 1$ である。

このとき

$$ a_{2m+1} =1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{(2m)!}-\frac{1}{(2m+1)!}

$$

であるから、

$$ a_{2m+1} =\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right) +\left(\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{(2m)!}-\frac{1}{(2m+1)!}\right)

$$

と書ける。

各 $j$ について

$$ \frac{1}{(2j)!}-\frac{1}{(2j+1)!} =\frac{2j}{(2j+1)!}>0

$$

であるから、

$$ a_{2m+1}>0

$$

である。

また、

$$ a_{2m+1}=a_{2m}-\frac{1}{(2m+1)!}

$$

である。偶数の場合にすでに $a_{2m}<1$ を示しているので、

$$ a_{2m+1}<a_{2m}<1

$$

である。

したがって、奇数 $n=2m+1$ のときも

$$ 0<a_n<1

$$

が成り立つ。

以上より、すべての $n\geqq 2$ に対して

$$ 0<a_n<1

$$

が示された。

解説

この問題の中心は、交代和を偶数番目と奇数番目に分けて見ることである。

(1) では、$a_{2m}$ と $a_{2m-2}$、また $a_{2m+1}$ と $a_{2m-1}$ の差をとると、間にある2項だけが残る。このため、全体の複雑な和を扱う必要はない。

(2) では、$1-1=0$ としたあと、

$$ \frac{1}{(2j)!}-\frac{1}{(2j+1)!}>0

$$

という正の組を作るのが重要である。これにより $a_n>0$ が分かる。上からの評価 $a_n<1$ は、偶数の場合は (1) の単調性から $a_{2m}<a_0=1$、奇数の場合は $a_{2m+1}<a_{2m}<1$ として示せる。

答え

**(1)**

$$ a_{2m-2}>a_{2m}, \qquad a_{2m-1}<a_{2m+1}

$$

である。

**(2)**

$n\geqq 2$ のすべての整数 $n$ について、

$$ 0<a_n<1

$$

である。