解説

方針・初手

まず漸化式に $n=1,2,3$ を代入して $a_2,a_3,a_4$ を求める。得られた値から $a_n$ の形を推測し、最後に数学的帰納法でその推測がすべての自然数 $n$ について正しいことを示す。

解法1

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{na_n}{na_n+n+2}

$$

に順に代入する。

まず $a_1=1$ より、

$$ a_2=\frac{1\cdot a_1}{1\cdot a_1+1+2} =\frac{1}{1+1+2} =\frac{1}{4}

$$

である。

次に $n=2$ として、

$$ a_3=\frac{2a_2}{2a_2+2+2} =\frac{2\cdot \frac14}{2\cdot \frac14+4} =\frac{\frac12}{\frac12+4} =\frac{\frac12}{\frac92} =\frac{1}{9}

$$

である。

さらに $n=3$ として、

$$ a_4=\frac{3a_3}{3a_3+3+2} =\frac{3\cdot \frac19}{3\cdot \frac19+5} =\frac{\frac13}{\frac13+5} =\frac{\frac13}{\frac{16}{3}} =\frac{1}{16}

$$

である。

したがって、

$$ a_1=1=\frac{1}{1^2},\quad a_2=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2},\quad a_3=\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2},\quad a_4=\frac{1}{16}=\frac{1}{4^2}

$$

となるので、一般項は

$$ a_n=\frac{1}{n^2}

$$

であると推測できる。

この推測を数学的帰納法で証明する。

**(i)**

$n=1$ のとき

$$ a_1=1=\frac{1}{1^2}

$$

であるから、成り立つ。

**(ii)**

$n=k$ のとき

$$ a_k=\frac{1}{k^2}

$$

が成り立つと仮定する。ただし $k$ は自然数である。

このとき、漸化式より

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &=\frac{k a_k}{k a_k+k+2} \\ &=\frac{k\cdot \frac{1}{k^2}}{k\cdot \frac{1}{k^2}+k+2} \\ &=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{k}+k+2} \end{aligned}

$$

である。分母を整理すると、

$$ \frac{1}{k}+k+2 =\frac{1+k^2+2k}{k} =\frac{(k+1)^2}{k}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &= \frac{\frac{1}{k}}{\frac{(k+1)^2}{k}} \\ &= \frac{1}{(k+1)^2} \end{aligned} $$

となる。

よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n=\frac{1}{n^2}

$$

が成り立つ。

解説

この問題では、まず具体的に $a_2,a_3,a_4$ を計算して規則性を見つけることが重要である。

得られる値が

$$ 1,\ \frac14,\ \frac19,\ \frac{1}{16}

$$

となるため、分母が平方数であることに注目すれば $a_n=\frac{1}{n^2}$ と推測できる。

帰納法では、仮定 $a_k=\frac{1}{k^2}$ を漸化式に代入した後、分母

$$ \frac{1}{k}+k+2

$$

を

$$ \frac{(k+1)^2}{k}

$$

と整理できるかが計算上の要点である。

答え

**(1)**

$$ a_2=\frac14,\quad a_3=\frac19,\quad a_4=\frac{1}{16}

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{1}{n^2}

$$

すべての自然数 $n$ について成り立つ。