解説

方針・初手

数学的帰納法で示す。帰納法の仮定から $k!$ を上から評価し、それに $k+1$ を掛けて $(k+1)!$ を評価する。

その際、最後に

$$ \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}>2

$$

を用いて、目標の右辺へつなげる。

解法1

$n=2$ のとき、

$$ \left(\frac{2+1}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}

$$

であり、

$$ 2!=2

$$

だから、

$$ \frac{9}{4}>2

$$

より成り立つ。

次に、ある整数 $k\geqq 2$ に対して

$$ \left(\frac{k+1}{2}\right)^k>k!

$$

が成り立つと仮定する。このとき、両辺に正の数 $k+1$ を掛けると、

$$ (k+1)!=(k+1)k!<(k+1)\left(\frac{k+1}{2}\right)^k

$$

を得る。

したがって、

$$ (k+1)\left(\frac{k+1}{2}\right)^k<\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}

$$

を示せばよい。

この不等式を変形すると、

$$ \begin{aligned} (k+1)\left(\frac{k+1}{2}\right)^k &= \frac{(k+1)^{k+1}}{2^k} \end{aligned} $$

であるから、示すべきことは

$$ \frac{(k+1)^{k+1}}{2^k} < \frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}

$$

である。両辺に $2^{k+1}$ を掛け、さらに正の数 $(k+1)^{k+1}$ で割ると、

$$ 2< \left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k+1}

$$

すなわち

$$ 2< \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}

$$

を示せばよい。

二項定理より、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1} &= 1+(k+1)\frac{1}{k+1}+\sum_{r=2}^{k+1} {}_{k+1}C_r\left(\frac{1}{k+1}\right)^r \end{aligned} $$

である。右辺の第3項以降はすべて正であるから、

$$ \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}>1+1=2

$$

となる。

よって、

$$ (k+1)\left(\frac{k+1}{2}\right)^k<\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}

$$

が成り立つ。したがって帰納法の仮定から

$$ (k+1)!<\left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}

$$

が従う。

以上より、数学的帰納法によって、すべての $n\geqq 2$ の整数に対して

$$ \left(\frac{n+1}{2}\right)^n>n!

$$

が成り立つ。

解説

帰納法では、仮定

$$ \left(\frac{k+1}{2}\right)^k>k!

$$

から次の段階

$$ \left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}>(k+1)!

$$

へ進める必要がある。

ここで単に $k+1$ を掛けるだけでは、右辺は

$$ (k+1)\left(\frac{k+1}{2}\right)^k

$$

となり、目標の

$$ \left(\frac{k+2}{2}\right)^{k+1}

$$

とは形が異なる。この2つを比較するために、

$$ \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}>2

$$

を用いるのが核心である。

この不等式は二項定理から直ちに示せるため、帰納法の流れの中で自然に使える。

答え

すべての $n\geqq 2$ の整数について、

$$ \left(\frac{n+1}{2}\right)^n>n!

$$

が成り立つ。