解説

方針・初手

まず $\cos 3\theta,\cos 4\theta$ は倍角・加法定理から $\cos\theta$ の多項式として表す。

後半は、$\theta$ が $\pi$ の有理数倍であると仮定すると、$2\cos\theta$ が「整数係数のモニック多項式」の有理根になることを利用する。そこから有理根定理により矛盾を導く。

解法1

$x=\cos\theta$ とおく。

倍角公式より

$$ \cos 2\theta=2x^2-1

$$

である。また

$$ \begin{aligned} \cos 3\theta &= 2\cos\theta\cos 2\theta-\cos\theta \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \cos 3\theta &=2x(2x^2-1)-x \\ &=4x^3-3x. \end{aligned}

$$

したがって

$$ \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

$$

である。

次に

$$ \begin{aligned} \cos 4\theta &= 2\cos\theta\cos 3\theta-\cos 2\theta \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \cos 4\theta &=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1) \\ &=8x^4-6x^2-2x^2+1 \\ &=8x^4-8x^2+1. \end{aligned}

$$

よって

$$ \cos 4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1

$$

である。

次に、$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき、$\theta=\dfrac{m}{n}\pi$ となる正の整数 $m,n$ が存在するかを調べる。

存在すると仮定する。

ここで、数列的に多項式 $P_k(X)$ を

$$ P_0(X)=2,\quad P_1(X)=X,\quad P_{k+1}(X)=XP_k(X)-P_{k-1}(X)

$$

で定める。

三角関数の公式

$$ \begin{aligned} 2\cos\alpha\cdot 2\cos k\alpha &= 2\cos (k+1)\alpha+2\cos (k-1)\alpha \end{aligned} $$

より、帰納的に

$$ P_k(2\cos\alpha)=2\cos k\alpha

$$

が成り立つ。

また、$P_1(X)=X$ はモニックな整数係数多項式であり、漸化式

$$ P_{k+1}(X)=XP_k(X)-P_{k-1}(X)

$$

から、$k\geqq 1$ に対して $P_k(X)$ は整数係数のモニック多項式である。

仮定より

$$ \theta=\frac{m}{n}\pi

$$

であるから、

$$ 2n\theta=2m\pi

$$

となる。したがって

$$ \cos 2n\theta=1

$$

である。

よって

$$ P_{2n}(2\cos\theta)=2\cos 2n\theta=2

$$

となる。

一方、$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ だから、

$$ 2\cos\theta=\frac{2}{p}

$$

である。したがって

$$ P_{2n}\left(\frac{2}{p}\right)-2=0

$$

となる。

つまり、$\dfrac{2}{p}$ は整数係数のモニック多項式

$$ P_{2n}(X)-2

$$

の有理根である。

有理根定理より、整数係数のモニック多項式の有理根は整数でなければならない。ところが、$p$ は $3$ 以上の素数なので $\gcd(2,p)=1$ であり、

$$ \frac{2}{p}

$$

は整数ではない。

これは矛盾である。

したがって、$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき、

$$ \theta=\frac{m}{n}\pi

$$

となる正の整数 $m,n$ は存在しない。

解説

前半の公式は、$\cos(k+1)\theta=2\cos\theta\cos k\theta-\cos(k-1)\theta$ を使うと自然に出る。

後半の核心は、$\theta$ が $\pi$ の有理数倍ならば、$2\cos\theta$ が整数係数のモニック多項式の根になる点である。$\cos\theta$ そのものではなく $2\cos\theta$ を使うと、漸化式の係数が整数になり、モニック多項式を作りやすい。

$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ なら $2\cos\theta=\dfrac{2}{p}$ であり、これは $p\geqq 3$ の素数に対して整数ではない。したがって、有理根定理と矛盾する。

答え

**(1)**

$$ \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

$$

$$ \cos 4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1

$$

**(2)**

$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき、

$$ \theta=\frac{m}{n}\pi

$$

となる正の整数 $m,n$ は存在しない。