解説

方針・初手

漸化式は関数そのものではなく、$(x-1)f_n(x)$ を微分して次の関数を作る形である。まず $f_2(x), f_3(x)$ を直接計算し、その形から $f_n(x)$ が常に1次関数になることを数学的帰納法で示す。

その後、$f_n(x)=a_nx+b_n$ とおいて係数比較を行えば、$a_n,b_n$ の漸化式が得られる。

解法1

まず、

$$ f_1(x)=x+1

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} f_2(x) &=\frac{d}{dx}{(x-1)f_1(x)} \\ &=\frac{d}{dx}{(x-1)(x+1)} \\ &=\frac{d}{dx}(x^2-1) \\ &=2x \end{aligned}

$$

である。

さらに、

$$ \begin{aligned} f_3(x) &=\frac{d}{dx}{(x-1)f_2(x)} \\ &=\frac{d}{dx}{(x-1)\cdot 2x} \\ &=\frac{d}{dx}(2x^2-2x) \\ &=4x-2 \end{aligned}

$$

となる。

次に、すべての自然数 $n$ について $f_n(x)$ が1次関数であることを示す。

$n=1$ のとき、

$$ f_1(x)=x+1

$$

であり、これは1次関数である。

ある自然数 $n$ について、$f_n(x)$ が1次関数であると仮定する。このとき、定数 $a_n,b_n$ を用いて

$$ f_n(x)=a_nx+b_n

$$

と書ける。

すると、

$$ \begin{aligned} (x-1)f_n(x) &=(x-1)(a_nx+b_n) \\ &=a_nx^2+(b_n-a_n)x-b_n \end{aligned}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} f_{n+1}(x) &=\frac{d}{dx}{(x-1)f_n(x)} \\ &=\frac{d}{dx}{a_nx^2+(b_n-a_n)x-b_n} \\ &=2a_nx+(b_n-a_n) \end{aligned}

$$

となる。

これは1次関数である。したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $f_n(x)$ は1次関数である。

次に、

$$ f_n(x)=a_nx+b_n

$$

とおく。

先ほどの計算より、

$$ f_{n+1}(x)=2a_nx+(b_n-a_n)

$$

である。一方、

$$ f_{n+1}(x)=a_{n+1}x+b_{n+1}

$$

なので、係数を比較して

$$ a_{n+1}=2a_n,\qquad b_{n+1}=b_n-a_n

$$

を得る。

また、

$$ f_1(x)=x+1

$$

より、

$$ a_1=1,\qquad b_1=1

$$

である。

まず $a_n$ について、

$$ a_{n+1}=2a_n,\qquad a_1=1

$$

だから、

$$ a_n=2^{n-1}

$$

である。

次に $b_n$ について、

$$ b_{n+1}=b_n-a_n=b_n-2^{n-1}

$$

であるから、

$$ b_n =b_1-\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}

$$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} b_n &=1-(1+2+\cdots+2^{n-2}) \\ &=1-(2^{n-1}-1) \\ &=2-2^{n-1} \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ f_n(x)=2^{n-1}x+2-2^{n-1}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、関数の漸化式を係数の漸化式に変換することである。

$f_n(x)$ が1次関数であると仮定すると、$(x-1)f_n(x)$ は高々2次式になり、それを微分した $f_{n+1}(x)$ は再び1次関数になる。この構造があるため、数学的帰納法が自然に使える。

また、$f_n(x)=a_nx+b_n$ とおけば、関数の漸化式は

$$ a_{n+1}=2a_n,\qquad b_{n+1}=b_n-a_n

$$

という係数の漸化式に変わる。特に $b_n$ は $a_n$ に依存して決まるため、先に $a_n$ を求めてから $b_n$ を求めるのがよい。

答え

**(1)**

$$ f_2(x)=2x,\qquad f_3(x)=4x-2

$$

**(2)**

すべての自然数 $n$ について、$f_n(x)$ は1次関数である。

**(3)**

$$ a_n=2^{n-1},\qquad b_n=2-2^{n-1}

$$

したがって、

$$ f_n(x)=2^{n-1}x+2-2^{n-1}

$$