解説

方針・初手

接線と $x$ 軸の交点を求めれば、数列 $\{x_n\}$ の漸化式が得られる。

この問題では

$$ f(x)=(2x-1)^3 $$

であるから、まず一般の点 $x=t$ における接線の式を求め、その $x$ 切片を $t$ で表す。

解法1

まず

$$ f(x)=(2x-1)^3 $$

より、

$$ f'(x)=6(2x-1)^2 $$

である。

したがって、点 $(t,f(t))$ における接線の方程式は

$$ y-(2t-1)^3=6(2t-1)^2(x-t) $$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} y &=6(2t-1)^2(x-t)+(2t-1)^3\\ &=(2t-1)^2\{6x-6t+2t-1\}\\ &=(2t-1)^2(6x-4t-1) \end{aligned} $$

となる。

よって接線の方程式は

$$ y=(2t-1)^2(6x-4t-1) $$

である。

$t\neq \dfrac12$ のときは $2t-1\neq 0$ だから、接線と $x$ 軸の交点は

$$ 0=(2t-1)^2(6x-4t-1) $$

より

$$ x=\frac{4t+1}{6} $$

である。

したがって、数列 $\{x_n\}$ は

$$ x_{n+1}=\frac{4x_n+1}{6} $$

を満たす。

これを

$$ x_{n+1}-\frac12 $$

の形で見ると、

$$ \begin{aligned} x_{n+1}-\frac12 &=\frac{4x_n+1}{6}-\frac12\\ &=\frac{4x_n-2}{6}\\ &=\frac23\left(x_n-\frac12\right) \end{aligned} $$

である。

よって数列

$$ \left\{x_n-\frac12\right\} $$

は、公比 $\dfrac23$ の等比数列である。

また、

$$ x_1-\frac12=2-\frac12=\frac32 $$

であるから、

$$ x_n-\frac12=\frac32\left(\frac23\right)^{n-1} $$

となる。

したがって

$$ x_n=\frac12+\frac32\left(\frac23\right)^{n-1} $$

であり、特に

$$ x_n>\frac12 $$

がすべての自然数 $n$ について成り立つ。

次に、

$$ x_n=\frac12+\frac32\left(\frac23\right)^{n-1} $$

より

$$ x_{n+1}=\frac12+\frac32\left(\frac23\right)^n $$

だから、

$$ \begin{aligned} |x_{n+1}-x_n| &=\left|\frac32\left(\frac23\right)^n-\frac32\left(\frac23\right)^{n-1}\right|\\ &=\frac12\left(\frac23\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

したがって条件

$$ |x_{n+1}-x_n|<\frac34\times 10^{-5} $$

は

$$ \frac12\left(\frac23\right)^{n-1}<\frac34\times 10^{-5} $$

すなわち

$$ \left(\frac32\right)^{n-1}>\frac23\times 10^5 $$

と同値である。

ここで $n=29$ のとき、

$$ 28\log_{10}\frac32 =28(\log_{10}3-\log_{10}2) >28(0.477-0.302) =4.9 $$

であるから、

$$ \left(\frac32\right)^{28}>10^{4.9}>8\times 10^4>\frac23\times 10^5 $$

となり、条件を満たす。

一方、$n=28$ のとき、

$$ 27\log_{10}\frac32 =27(\log_{10}3-\log_{10}2) <27(0.478-0.301) =4.779 $$

である。

また

$$ \log_{10}\left(\frac23\times 10^5\right) =5+\log_{10}2-\log_{10}3 >5+0.301-0.478 =4.823 $$

だから、

$$ \left(\frac32\right)^{27}<\frac23\times 10^5 $$

となり、$n=28$ では条件を満たさない。

よって、条件を満たす最小の自然数は

$$ n=29 $$

である。

解説

元の関数は

$$ f(x)=(2x-1)^3 $$

であり、ここを二乗関数に取り違えると接線の傾きも漸化式も全部変わる。

この問題では、接線の $x$ 切片が

$$ \frac{4t+1}{6} $$

と一次式で表れるため、

$$ x_{n+1}-\frac12=\frac23\left(x_n-\frac12\right) $$

という等比型の漸化式に落ちる。あとは一般項と隣接差を出し、不等式を対数で判定すればよい。

答え

**(1)**

接線の方程式は

$$ y=(2t-1)^2(6x-4t-1) $$

である。

$t\neq \dfrac12$ のとき、その接線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は

$$ \frac{4t+1}{6} $$

である。

**(2)**

$$ x_n=\frac12+\frac32\left(\frac23\right)^{n-1} $$

であり、したがって

$$ x_n>\frac12 $$

である。

**(3)**

条件を満たす最小の自然数は

$$ 29 $$