基礎問題集
数学B 数列「漸化式の応用」の問題13 解説
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解説
方針・初手
最後のタイルの色によって場合を分ける。赤と黄色が隣り合うことだけが禁止条件であり、青はどの色とも隣り合えるので、$n$ 枚目の色ごとの個数 $b_n,c_n,d_n$ を使って漸化式を立てる。
解法1
まず $n=1$ のとき、赤色・黄色・青色のいずれでもよいから
$$ a_1=3
$$
である。
$n=2$ のとき、全体は $3^2=9$ 通りである。このうち、赤色と黄色が隣り合う並べ方は
$$ \text{赤黄},\quad \text{黄赤}
$$
の $2$ 通りである。したがって
$$ a_2=9-2=7
$$
である。
次に、$n+1$ 枚目の色で分類する。
$n+1$ 枚目が赤色であるためには、$n$ 枚目が黄色であってはならない。したがって、$n$ 枚目は赤色または青色であるから
$$ b_{n+1}=b_n+d_n
$$
である。
同様に、$n+1$ 枚目が黄色であるためには、$n$ 枚目が赤色であってはならない。よって
$$ c_{n+1}=c_n+d_n
$$
である。
$n+1$ 枚目が青色である場合、$n$ 枚目の色には制限がない。したがって
$$ d_{n+1}=b_n+c_n+d_n
$$
である。
また
$$ a_n=b_n+c_n+d_n
$$
なので、
$$ d_{n+1}=a_n
$$
でもある。
以上より、求める漸化式は
$$ \begin{aligned} b_{n+1}&=b_n+d_n,\\ c_{n+1}&=c_n+d_n,\\ d_{n+1}&=b_n+c_n+d_n \end{aligned}
$$
である。
次に、$a_{n+2}$ を $a_{n+1},a_n$ で表す。
上の式を足し合わせると
$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=b_{n+1}+c_{n+1}+d_{n+1}\\ &=(b_n+d_n)+(c_n+d_n)+(b_n+c_n+d_n)\\ &=2b_n+2c_n+3d_n\\ &=2(b_n+c_n+d_n)+d_n\\ &=2a_n+d_n \end{aligned}
$$
となる。
これを $n+1$ に置き換えると
$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+d_{n+1}
$$
である。ここで $d_{n+1}=a_n$ より、
$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n
$$
を得る。
したがって、$a_n$ は
$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n
$$
を満たし、初期条件は
$$ a_1=3,\qquad a_2=7
$$
である。
この漸化式の特性方程式は
$$ r^2-2r-1=0
$$
であり、解は
$$ r=1\pm \sqrt{2}
$$
である。
よって
$$ a_n=A(1+\sqrt{2})^{n-1}+B(1-\sqrt{2})^{n-1}
$$
と表せる。
初期条件 $a_1=3,\ a_2=7$ を代入すると
$$ A+B=3
$$
かつ
$$ A(1+\sqrt{2})+B(1-\sqrt{2})=7
$$
である。
これを解くと
$$ A=\frac{3}{2}+\sqrt{2},\qquad B=\frac{3}{2}-\sqrt{2}
$$
となる。
したがって
$$ a_n=\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)(1+\sqrt{2})^{n-1} +\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)(1-\sqrt{2})^{n-1}
$$
である。
解説
この問題では、全体の個数 $a_n$ だけを直接追おうとすると、最後が赤色なのか黄色なのか青色なのかが分からず、次のタイルを置くときの制限を判断できない。
そのため、最後の色ごとに $b_n,c_n,d_n$ と分けるのが本質である。特に青色は赤色とも黄色とも隣り合えるので、$d_{n+1}=a_n$ と簡単に表せる。この関係を使うことで、最終的に $a_n$ だけの2項間漸化式
$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n
$$
に落とし込める。
答え
**(1)**
$$ a_1=3,\qquad a_2=7
$$
**(2)**
$$ \begin{aligned} b_{n+1}&=b_n+d_n,\\ c_{n+1}&=c_n+d_n,\\ d_{n+1}&=b_n+c_n+d_n \end{aligned}
$$
**(3)**
$$ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n
$$
**(4)**
$$ a_n=\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)(1+\sqrt{2})^{n-1} +\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)(1-\sqrt{2})^{n-1}
$$