解説

方針・初手

表を $H$、裏を $T$ とする。事象 A は「硬貨の入っている箱だけを見たとき、上下左右に隣り合う $H$ が存在しない」という条件である。

一番手前の 2 個の箱には硬貨を入れないので、実際に考えるのは横 $2$ 個、奥行き $n-1$ 列の長方形である。したがって、$a_n$ は $2 \times (n-1)$ のマスに $H,T$ を入れ、隣り合う $H$ がないようにする場合の数である。

解法1

まず小さい $n$ の値を求める。

$n=2$ のとき、硬貨が入る箱は横に隣り合う 2 個である。$HH$ は事象 A に反するので、可能なのは

$$ TT,\ HT,\ TH

$$

の $3$ 通りである。よって

$$ a_2=3

$$

である。また全事象は $2^2=4$ 通りだから、

$$ P_2=\frac{3}{4}

$$

である。

$n=3$ のとき、硬貨が入る箱は $2 \times 2$ の正方形状に並ぶ。$H$ の置き方を数える。

$H$ が $0$ 個のとき $1$ 通り、$1$ 個のとき $4$ 通りである。$H$ が $2$ 個のときは、隣り合わないように置く必要があるので、対角線上の組だけが可能であり $2$ 通りである。$H$ が $3$ 個以上では必ず隣り合う $H$ が生じる。

したがって

$$ a_3=1+4+2=7

$$

である。全事象は $2^4=16$ 通りだから、

$$ P_3=\frac{7}{16}

$$

である。

次に漸化式を作る。奥側の最後の列に注目する。最後の列の状態として、事象 A を満たすものは

$$ TT,\ HT,\ TH

$$

の $3$ 種類だけである。

最後の列が $TT$ である場合の数を $x_n$、最後の列が $HT$ である場合の数を $y_n$ とする。対称性により、最後の列が $TH$ である場合の数も $y_n$ である。したがって

$$ a_n=x_n+2y_n

$$

である。

最後の列が $TT$ なら、その手前までの $2 \times (n-2)$ の部分は任意に事象 A を満たせばよいので、

$$ x_n=a_{n-1}

$$

である。

最後の列が $HT$ のとき、その直前の列の左側は $H$ にできない。したがって、直前の列は $TT$ または $TH$ である必要がある。よって

$$ y_n=x_{n-1}+y_{n-1}

$$

である。

これらより

$$ \begin{aligned} a_n &=x_n+2y_n \\ &=a_{n-1}+2(x_{n-1}+y_{n-1}) \end{aligned}

$$

となる。ここで

$$ a_{n-1}=x_{n-1}+2y_{n-1},\qquad x_{n-1}=a_{n-2}

$$

であるから、

$$ x_{n-1}+y_{n-1} =\frac{a_{n-1}+x_{n-1}}{2} =\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}

$$

である。したがって、$n \geqq 4$ のとき

$$ a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}

$$

が成り立つ。

よって

$$ a_4=2a_3+a_2=2\cdot 7+3=17

$$

であり、

$$ P_4=\frac{17}{2^6}=\frac{17}{64}

$$

である。

また

$$ a_5=2a_4+a_3=2\cdot 17+7=41

$$

$$ a_6=2a_5+a_4=2\cdot 41+17=99

$$

である。したがって

$$ P_6=\frac{99}{2^{10}}=\frac{99}{1024}

$$

である。

次に、$n=6$ で事象 A が起こったことがわかっているときに事象 B が起こる確率を求める。

$n=6$ では硬貨は $10$ 枚である。事象 B は、表と裏の枚数が等しいことなので、表が $5$ 枚、裏が $5$ 枚であることを意味する。

事象 A のもとでは、各列の横に隣り合う 2 個がともに $H$ になることはできない。したがって、各列に置ける $H$ は高々 $1$ 個である。奥行きは $5$ 列なので、$H$ が $5$ 枚あるためには、各列にちょうど $1$ 個ずつ $H$ がなければならない。

さらに、隣り合う列で同じ側に $H$ を置くと、縦に隣り合う $H$ が生じて事象 A に反する。よって $H$ の位置は左右交互でなければならない。最初の列で左を選ぶか右を選ぶかの $2$ 通りだけである。

したがって

$$ |A\cap B|=2

$$

であり、$|A|=a_6=99$ だから、

$$ P(B\mid A)=\frac{2}{99}

$$

である。

最後に一般項を求める。漸化式

$$ a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}

$$

を

$$ a_n-\alpha a_{n-1} =\beta(a_{n-1}-\alpha a_{n-2})

$$

の形にする。

右辺を展開すると、

$$ a_n=(\alpha+\beta)a_{n-1}-\alpha\beta a_{n-2}

$$

である。これが

$$ a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}

$$

と一致するためには、

$$ \alpha+\beta=2,\qquad \alpha\beta=-1

$$

が必要である。

したがって、$\alpha,\beta$ は

$$ t^2-2t-1=0

$$

の 2 解であり、

$$ t=1\pm \sqrt{2}

$$

である。よって、$\boxed{\text{コ}}<\boxed{\text{サ}}$ より

$$ \boxed{\text{コ}}=1-\sqrt{2},\qquad \boxed{\text{サ}}=1+\sqrt{2}

$$

である。

特性方程式の解が $1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}$ なので、

$$ a_n=C(1+\sqrt{2})^n+D(1-\sqrt{2})^n

$$

と表される。実際、

$$ a_n=\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2}

$$

は $a_2=3,\ a_3=7$ を満たし、同じ漸化式を満たす。

したがって

$$ P_n =\frac{a_n}{2^{2n-2}} =\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2^{2n-1}}

$$

である。

解説

この問題の中心は、事象 A を「隣り合う表がない配置」と読み替えることである。硬貨を入れない一番手前の列を除くと、$2 \times (n-1)$ の格子に表を置く問題になる。

漸化式を作るときは、最後の列を $TT,HT,TH$ の 3 状態に分けるのが自然である。単に最後の列に表があるかないかだけで分けると、次の列との接続条件を正確に処理できない。

条件付き確率では、$n=6$ のときに表が $5$ 枚必要である点が重要である。各列には表を高々 $1$ 枚しか置けないので、すべての列に表を $1$ 枚ずつ置くしかない。その結果、左右交互の $2$ 通りに限られる。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=3}

$$

$$ \boxed{\text{イ}=\frac{3}{4}}

$$

$$ \boxed{\text{ウ}=7}

$$

$$ \boxed{\text{エ}=\frac{7}{16}}

$$

$$ \boxed{\text{オ}=\frac{17}{64}}

$$

$$ \boxed{\text{カ}=2}

$$

$$ \boxed{\text{キ}=1}

$$

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{99}{1024}}

$$

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{2}{99}}

$$

$$ \boxed{\text{コ}=1-\sqrt{2}}

$$

$$ \boxed{\text{サ}=1+\sqrt{2}}

$$

$$ \boxed{\text{シ}= \frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2^{2n-1}}}

$$