解説

方針・初手

A が $k$ 回目に勝つには、それ以前の $2k-2$ 回、すなわち A の $1$ 回目から $k-1$ 回目までと、B の $1$ 回目から $k-1$ 回目までのすべてで $1$ が出ず、A の $k$ 回目で $1$ が出ればよい。

その確率を求めてから、$k=1,2,\ldots,n$ について和をとれば $P_n$ が得られる。

解法1

（1） A が $k$ 回目に勝つ確率を求める。

A が $k$ 回目に投げる直前まで勝負がついていないためには、A と B がそれぞれ $k-1$ 回ずつ投げ、合計 $2k-2$ 回のすべてで $1$ が出ていない必要がある。

各回で $1$ が出ない確率は $\dfrac{5}{6}$ であり、A の $k$ 回目で $1$ が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ である。よって求める確率は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{6}\right)^{2k-2}\cdot \frac{1}{6} &= \frac{1}{6}\left(\frac{25}{36}\right)^{k-1} \end{aligned} $$

である。

（2） A が勝つ確率 $P_n$ を求める。

A が勝つのは、A の $1$ 回目から $n$ 回目までのいずれかで初めて $1$ を出す場合である。したがって、(1) の結果を $k=1$ から $n$ まで足せばよい。

$$ \begin{aligned} P_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{6}\left(\frac{25}{36}\right)^{k-1} \end{aligned} $$

これは初項 $\dfrac{1}{6}$、公比 $\dfrac{25}{36}$ の等比数列の和であるから、

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1}{6}\cdot \frac{1-\left(\frac{25}{36}\right)^n}{1-\frac{25}{36}} \\ &= \frac{1}{6}\cdot \frac{1-\left(\frac{25}{36}\right)^n}{\frac{11}{36}} \\ &= \frac{6}{11} \left\{ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n \right\}. \end{aligned}

$$

よって

$$ P_n= \frac{6}{11} \left\{ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n \right\}

$$

である。

**(3)**

$P_n>\dfrac{1}{2}$ となる最小の $n$ を求める。

(2) より

$$ \frac{6}{11} \left\{ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n \right\}

>

\frac{1}{2}

$$

である。両辺を整理すると、

$$ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n

>

\frac{11}{12}

$$

より

$$ \left(\frac{25}{36}\right)^n < \frac{1}{12}

$$

を得る。

常用対数をとると、$0<\dfrac{25}{36}<1$ であるから

$$ n\log_{10}\frac{25}{36} < -\log_{10}12

$$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{25}{36} &= \log_{10}25-\log_{10}36 \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \log_{10}25 &= 2\log_{10}5 \\ 2(1-\log_{10}2) \\ 2(1-0.3010) \\ 1.3980 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \log_{10}36 &= 2\log_{10}6 \\ 2(\log_{10}2+\log_{10}3) \\ 2(0.3010+0.4771) \\ 1.5562 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{25}{36} &= 1.3980-1.5562 \\ -0.1582 \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \log_{10}12 &= \log_{10}3+\log_{10}4 \\ 0.4771+2\cdot 0.3010 \\ 1.0791 \end{aligned} $$

である。よって

$$ -0.1582n<-1.0791

$$

となる。両辺を $-0.1582$ で割ると、不等号の向きが変わって

$$ n>\frac{1.0791}{0.1582}

$$

である。

計算すると、

$$ 6<\frac{1.0791}{0.1582}<7

$$

であるから、これを満たす最小の自然数は

$$ n=7

$$

である。

解説

この問題では、A が先攻であるため、A が $k$ 回目に投げる直前までに行われた投球回数が $2k-2$ 回になることが重要である。

A の $k$ 回目で勝つ確率は、そこまで誰も $1$ を出していない確率と、A がその回で $1$ を出す確率の積で求める。これにより、A の勝率は等比数列の和として処理できる。

また、A が $n$ 回投げても勝負がつかないときは B の勝ちであるため、A が勝つ場合は A の $1$ 回目から $n$ 回目までに限られる。この制限を忘れて無限等比級数にしてはいけない。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{6}\left(\frac{25}{36}\right)^{k-1}

$$

**(2)**

$$ P_n= \frac{6}{11} \left\{ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n \right\}

$$

**(3)**

$$ n=7

$$