解説

方針・初手

各回の操作では、偶数のカード $2$ が出る確率は $\dfrac{1}{3}$、奇数のカード $1,3$ が出る確率は $\dfrac{2}{3}$ である。

合計の偶奇は、偶数を加えても変わらず、奇数を加えると反転する。したがって、$n$ 回目までの合計が偶数か奇数かに注目して漸化式を立てる。

解法1

$n$ 回取り出した後の合計が偶数である確率を $P_n$ とする。このとき、合計が奇数である確率は $1-P_n$ である。

$n+1$ 回目の後に合計が偶数になるのは、次の2通りである。

**(i)**

$n$ 回目までの合計が偶数で、$n+1$ 回目に偶数のカード $2$ を引く。

この確率は

$$ P_n \cdot \frac{1}{3}

$$

である。

**(ii)**

$n$ 回目までの合計が奇数で、$n+1$ 回目に奇数のカード $1,3$ を引く。

この確率は

$$ (1-P_n)\cdot \frac{2}{3}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= P_n\cdot \frac{1}{3} + (1-P_n)\cdot \frac{2}{3} \end{aligned} $$

より

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{1}{3}P_n+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}P_n \\ \frac{2}{3}-\frac{1}{3}P_n \end{aligned} $$

である。

次に、$P_n$ を $n$ の式で表す。まず $1$ 回取り出したとき、合計が偶数となるのはカード $2$ を引いたときだけなので

$$ P_1=\frac{1}{3}

$$

である。

漸化式

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{2}{3}-\frac{1}{3}P_n \end{aligned} $$

の定数解を求める。$P_{n+1}=P_n=\alpha$ とおくと

$$ \alpha=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\alpha

$$

より

$$ \frac{4}{3}\alpha=\frac{2}{3}

$$

したがって

$$ \alpha=\frac{1}{2}

$$

である。

そこで

$$ Q_n=P_n-\frac{1}{2}

$$

とおくと

$$ \begin{aligned} Q_{n+1} &=P_{n+1}-\frac{1}{2} \\ &=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}P_n\right)-\frac{1}{2} \\ &=-\frac{1}{3}\left(P_n-\frac{1}{2}\right) \\ &=-\frac{1}{3}Q_n \end{aligned}

$$

となる。

また

$$ \begin{aligned} Q_1=P_1-\frac{1}{2} &= \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} \end{aligned} $$

である。よって $Q_n$ は初項 $-\dfrac{1}{6}$、公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列だから

$$ \begin{aligned} Q_n &= -\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1}{2} -\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。これは

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

とも書ける。

解法2

合計が偶数になるためには、$n$ 回のうち奇数のカードを引いた回数が偶数であればよい。

各回で奇数のカードを引く確率は $\dfrac{2}{3}$、偶数のカードを引く確率は $\dfrac{1}{3}$ である。したがって、奇数のカードをちょうど $k$ 回引く確率は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{n-k}

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} P_n &= \sum_{\substack{0\le k\le n\ k\text{ は偶数}}} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} \end{aligned} $$

である。

偶数番目の項だけを取り出す公式

$$ \begin{aligned} \sum_{\substack{0\le k\le n\ k\text{ は偶数}}} {}_{n}\mathrm{C}_{k}a^k b^{n-k} &= \frac{(a+b)^n+(-a+b)^n}{2} \end{aligned} $$

を用いると、$a=\dfrac{2}{3}$、$b=\dfrac{1}{3}$ より

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^n+\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)^n}{2} \\ &= \frac{1^n+\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} \\ &= \frac{1+\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題では、カードの数字そのものではなく、合計の偶奇だけを追えばよい。偶数を足すと偶奇は変わらず、奇数を足すと偶奇が反転するため、状態を「偶数」「奇数」の2つに分けると自然に漸化式が立つ。

(1) では、$n$ 回目までの合計が偶数か奇数かで場合分けするのが最短である。

(2) では、漸化式の定数解 $\dfrac{1}{2}$ を引いて等比数列に直す処理が典型である。別解のように、奇数を引いた回数の偶奇に注目して二項展開で求めることもできる。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{2}{3}-\frac{1}{3}P_n \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1+\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} \end{aligned} $$