解説

方針・初手

$n$ 回目で初めて双方が $4$ 勝以上になるためには、$n$ 回目の勝者がちょうどその試合で $4$ 勝目に到達する必要がある。

したがって、$n$ 回目終了時点での勝数は

$$ (4,\ n-4)

$$

または

$$ (n-4,\ 4)

$$

でなければならない。特に、双方が $4$ 勝以上になるには $n \geqq 8$ が必要である。

解法1

$A$ が各試合に勝つ確率を $p$、$B$ が勝つ確率を $1-p$ とする。

まず、$n<8$ のときは、合計試合数が足りないため、$A$ と $B$ の双方が $4$ 勝以上になることはない。よって

$$ x_n=0 \qquad (n<8)

$$

である。

次に $n \geqq 8$ とする。

$n$ 回目の試合で初めて双方が $4$ 勝以上になる場合は、次の2通りである。

**(i)**

$A$ が $n$ 回目に勝ち、その勝利が $A$ の $4$ 勝目である場合

このとき、最初の $n-1$ 回の試合で $A$ はちょうど $3$ 勝している必要がある。したがって、そのような並び方は

$$ {}_{n-1}\mathrm{C}_{3}

$$

通りである。

この場合の確率は

$$ {}_{n-1}\mathrm{C}_{3}p^4(1-p)^{n-4}

$$

である。

**(ii)**

$B$ が $n$ 回目に勝ち、その勝利が $B$ の $4$ 勝目である場合

同様に、最初の $n-1$ 回の試合で $B$ はちょうど $3$ 勝している必要がある。よって、この場合の確率は

$$ {}_{n-1}\mathrm{C}_{3}p^{n-4}(1-p)^4

$$

である。

以上より、$n \geqq 8$ のとき

$$ x_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\left\{p^4(1-p)^{n-4}+p^{n-4}(1-p)^4\right\}

$$

となる。

したがって、

$$ x_n= \begin{cases} 0 & (n<8),\\ \displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\left\{p^4(1-p)^{n-4}+p^{n-4}(1-p)^4\right\} & (n\geqq 8) \end{cases}

$$

である。

次に $p=\dfrac12$ の場合を考える。このとき

$$ x_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\left\{\left(\frac12\right)^n+\left(\frac12\right)^n\right\}

$$

より、

$$ x_n=\frac{{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}}{2^{n-1}} \qquad (n\geqq 8)

$$

である。

この値を最大にする $n$ を調べるため、隣り合う項の比を考える。

$$ \begin{aligned} \frac{x_{n+1}}{x_n} &= \frac{\dfrac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{2^n}}{\dfrac{{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}}{2^{n-1}}} \\ \frac12\cdot \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}} \end{aligned} $$

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{n}{n-3} \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{x_{n+1}}{x_n} &= \frac{n}{2(n-3)} \end{aligned} $$

である。

$n\geqq 8$ では

$$ \frac{n}{2(n-3)}<1

$$

が成り立つ。したがって、$x_n$ は $n\geqq 8$ で単調減少する。

よって、$x_n$ を最大にするのは最小の $n$、すなわち

$$ n=8

$$

である。

解説

この問題の要点は、「初めて双方が $4$ 勝以上になる」という条件を、勝数の状態で正確に捉えることである。

$n$ 回目で初めて条件を満たすには、$n$ 回目の直前には一方がまだ $3$ 勝以下でなければならない。しかし $n$ 回目終了後には双方が $4$ 勝以上になるので、$n$ 回目の勝者は直前に $3$ 勝、直後に $4$ 勝となる。

そのため、単に $n$ 回目終了時に双方が $4$ 勝以上である確率を求めるのではなく、$n$ 回目でどちらかがちょうど $4$ 勝目に到達する場合だけを数える必要がある。

答え

**(1)**

$$ x_n= \begin{cases} 0 & (n<8),\\ \displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\left\{p^4(1-p)^{n-4}+p^{n-4}(1-p)^4\right\} & (n\geqq 8) \end{cases}

$$

**(2)**

$$ n=8

$$