基礎問題集
数学B 数列「数列･確率」の問題5 解説
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解説
方針・初手
この操作が $n$ 回目で終了するためには、$n$ 回目に初めて「3回目の $1$」が出る必要がある。
したがって、最初の $n-1$ 回のうちちょうど $2$ 回だけ $1$ が出て、$n$ 回目に $1$ が出る場合を数えればよい。
解法1
サイコロで $1$ が出る確率は $\dfrac{1}{6}$、$1$ 以外が出る確率は $\dfrac{5}{6}$ である。
$n$ 回目で終了するには、最初の $n-1$ 回の中で $1$ がちょうど $2$ 回出て、最後の $n$ 回目に $1$ が出ればよい。
最初の $n-1$ 回のうち、$1$ が出る $2$ 回の位置の選び方は
$$ {}_{n-1}C_2
$$
通りである。よって
$$ p_n={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\cdot \frac{1}{6}
$$
となる。したがって
$$ p_n={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}
$$
である。
特に、
$$ p_3={}_{2}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216}
$$
であり、
$$ p_4={}_{3}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right) =3\cdot \frac{1}{216}\cdot \frac{5}{6} =\frac{5}{432}
$$
である。
次に、$p_n=p_{n+1}$ となる $n$ を求める。
一般項より、
$$ p_n=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}
$$
である。また、
$$ p_{n+1}=\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}
$$
であるから、$p_n=p_{n+1}$ より
$$ \begin{aligned} \frac{(n-1)(n-2)}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} &= \frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \end{aligned} $$
となる。ここで $n\geqq 3$ なので、共通因数を消すと
$$ n-2=\frac{5}{6}n
$$
である。よって
$$ 6n-12=5n
$$
より、
$$ n=12
$$
である。
次に、$p_n$ が最大となる $n$ を求める。
隣り合う項の比を考えると、
$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}*{n}C_2}{{}*{n-1}C_2}\cdot \frac{5}{6} \\ \frac{n}{n-2}\cdot \frac{5}{6} \\ \frac{5n}{6(n-2)} \end{aligned} $$
である。
したがって、
$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}>1
$$
となるのは
$$ 5n>6(n-2)
$$
すなわち
$$ n<12
$$
のときである。
また、
$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}=1
$$
となるのは $n=12$ のときであり、
$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}<1
$$
となるのは $n>12$ のときである。
よって、$p_n$ は $n=12$ まで増加し、$p_{12}=p_{13}$ となり、その後減少する。したがって、$p_n$ が最大となるのは
$$ n=12,\ 13
$$
である。
解説
この問題は、「3回目の成功が $n$ 回目に起こる確率」を求める問題であり、負の二項分布の典型形である。
重要なのは、$n$ 回目で終了する条件を「最初の $n-1$ 回で $1$ がちょうど $2$ 回出て、$n$ 回目に $1$ が出る」と言い換えることである。
最大値を求める部分では、$p_n$ 自体を微分するのではなく、離散的な数列なので隣り合う項の比 $\dfrac{p_{n+1}}{p_n}$ を調べるのが自然である。比が $1$ より大きければ増加、$1$ より小さければ減少である。
答え
**(1)**
$$ p_3=\frac{1}{216}
$$
$$ p_4=\frac{5}{432}
$$
一般に、
$$ p_n={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}
$$
また、
$$ p_n=p_{n+1}
$$
となるのは
$$ n=12
$$
のときである。
したがって、
$$ \boxed{\text{ア}=\frac{1}{216},\quad \text{イ}=\frac{5}{432},\quad \text{ウ}={}_{n-1}C_2\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3},\quad \text{エ}=12}
$$
**(2)**
$$ \boxed{n=12,\ 13}
$$