基礎問題集
数学B 数列「数列･確率」の問題22 解説
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解説
方針・初手
点 $X$ が頂点 $A$ にいる確率を直接追う。対称性より、$n$ 回後に $X$ が頂点 $B$ にいる確率と頂点 $C$ にいる確率は等しいので、それぞれ
$$ \frac{1-P_n}{2}
$$
と表せる。この対称性を使って、$P_{n+1}$ を $P_n$ だけで表す。
解法1
サイコロの目による移動は次の通りである。
$5$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、$6$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、それ以外の目が出て動かない確率は
$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3}
$$
である。
まず、$P_1$ は $1$ 回投げた後にまだ $A$ にいる確率である。はじめ $X$ は $A$ にいるので、$A$ に残るには $5,6$ 以外の目が出ればよい。したがって
$$ P_1=\frac{2}{3}
$$
である。
次に、$P_2$ を求める。$P_{n+1}$ の漸化式を先に作る。
$n$ 回後に $X$ が $A$ にいる確率は $P_n$ である。このとき、次の $1$ 回で $A$ に残る確率は $\frac{2}{3}$ なので、これによる寄与は
$$ \frac{2}{3}P_n
$$
である。
一方、$n$ 回後に $X$ が $B$ または $C$ にいる確率は $1-P_n$ である。対称性より、$B,C$ にいる確率はそれぞれ
$$ \frac{1-P_n}{2}
$$
である。
$B$ から $A$ に移るには、時計回りまたは反時計回りのうち、$A$ に向かう一方の移動が起こればよいので、その確率は $\frac{1}{6}$ である。同様に、$C$ から $A$ に移る確率も $\frac{1}{6}$ である。
よって、$B,C$ から $A$ に移る確率の寄与は
$$ \frac{1-P_n}{2}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1-P_n}{2}\cdot \frac{1}{6} =\frac{1-P_n}{6}
$$
である。
したがって
$$ P_{n+1} =\frac{2}{3}P_n+\frac{1-P_n}{6} =\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6}
$$
となる。
これを用いて、$P_2,P_3$ を求める。
$$ P_2=\frac{1}{2}P_1+\frac{1}{6} =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{6} =\frac{1}{2}
$$
また、
$$ P_3=\frac{1}{2}P_2+\frac{1}{6} =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{6} =\frac{5}{12}
$$
である。
次に、一般項を求める。
漸化式
$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6}
$$
の定常値を $\alpha$ とすると、
$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{6}
$$
より、
$$ \alpha=\frac{1}{3}
$$
である。
したがって、漸化式から
$$ P_{n+1}-\frac{1}{3} =\frac{1}{2}\left(P_n-\frac{1}{3}\right)
$$
を得る。
はじめ $X$ は頂点 $A$ にあるので
$$ P_0=1
$$
である。よって
$$ P_0-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
$$
だから、
$$ P_n-\frac{1}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot \frac{2}{3}
$$
となる。
したがって
$$ P_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n
$$
である。
解説
この問題の要点は、$B$ と $C$ を別々に詳しく追わず、対称性を使ってまとめることである。
時計回りと反時計回りの移動確率がともに $\frac{1}{6}$ であり、初期位置が $A$ で左右対称であるため、任意の $n$ において $B$ にいる確率と $C$ にいる確率は等しい。このため、$A$ にいる確率 $P_n$ だけで次の確率 $P_{n+1}$ を表せる。
漸化式
$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6}
$$
を作った後は、定常値 $\frac{1}{3}$ を引いて等比数列に帰着するのが標準的な処理である。
答え
**(1)**
$$ P_1=\frac{2}{3},\qquad P_2=\frac{1}{2},\qquad P_3=\frac{5}{12}
$$
**(2)**
$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6}
$$
**(3)**
$$ P_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n
$$