解説

方針・初手

終了するのは「最後の2回がともに表」であり、かつそれ以前には表が2回続いていない場合である。

したがって、$n$ 回目で終了するには、長さ $n$ の表裏の列のうち、最後が「表表」で、途中に「表表」が初めて現れるものだけを数えればよい。

解法1

表を $H$、裏を $T$ と表す。

**(1)**

$P_2$ を求める。

2回目で終了するには、1回目と2回目がともに表であればよい。したがって該当する列は

$$ HH

$$

のみである。

各列の確率は $\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$ だから、

$$ P_2=\frac14

$$

である。

**(2)**

$P_3$ を求める。

3回目で終了するには、2回目と3回目がともに表であり、1回目と2回目ではまだ終了していない必要がある。

したがって列は

$$ THH

$$

のみである。

よって、

$$ P_3=\left(\frac12\right)^3=\frac18

$$

である。

**(3)**

$P_4$ を求める。

4回目で終了するには、3回目と4回目がともに表である。また、2回目と3回目で表が2回続いてしまうと3回目で終了してしまうので、2回目は裏でなければならない。

したがって、最後の形は

$$ \boxed{\ \ }THH

$$

である。

1回目は $H,T$ のどちらでもよい。ただし、2回目が $T$ なので、1回目と2回目で表が2回続くことはない。

したがって該当する列は

$$ HTHH,\quad TTHH

$$

の2通りである。

各列の確率は $\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac1{16}$ だから、

$$ P_4=2\cdot \frac1{16}=\frac18

$$

である。

**(4)**

$P_5<\dfrac12$ を示す。

5回目で終了するには、4回目と5回目がともに表である。また、3回目と4回目で表が2回続くと4回目で終了してしまうので、3回目は裏でなければならない。

したがって、最後の形は

$$ \boxed{\ \ }\boxed{\ \ }THH

$$

である。

あとは、1回目から3回目までの列が「途中で表が2回続かない」ようにすればよい。3回目はすでに $T$ と決まっているので、1回目と2回目について考える。

1回目と2回目が $HH$ だと2回目で終了してしまうため不可である。よって、可能な列は

$$ HTTHH,\quad THTHH,\quad TTTHH

$$

の3通りである。

したがって、

$$ P_5=3\cdot \left(\frac12\right)^5=\frac3{32}

$$

である。

ここで、

$$ \frac3{32}<\frac{16}{32}=\frac12

$$

より、

$$ P_5<\frac12

$$

が示された。

解説

この問題では、「$n$ 回目で終了する」とは「$n-1$ 回目と $n$ 回目が表表で、しかもそれ以前には表表が出ていない」という意味である。

特に $n\geq 3$ のとき、最後が $HH$ で終わるため、その直前の $n-2$ 回目が $H$ だと、$n-2$ 回目と $n-1$ 回目で表が2回続いてしまう。よって、$n-2$ 回目は必ず $T$ である。

この条件を見落とすと、$P_4$ や $P_5$ で余計な列を数えてしまう。

答え

**(1)**

$$ P_2=\frac14

$$

**(2)**

$$ P_3=\frac18

$$

**(3)**

$$ P_4=\frac18

$$

**(4)**

$$ P_5=\frac3{32}

$$

であるから、

$$ P_5<\frac12

$$