解説

方針・初手

石は隣の点にしか移動しないので、時刻 $n$ までに印がついた点の集合は常に

$$ {1,2,\dots,M_n}

$$

の形になる。ただし $M_n$ は時刻 $n$ までに到達した点の最大値である。

したがって、点の分布は通常の漸化式で求め、印の個数については「どこまで到達したか」で考える。

解法1

時刻 $m$ の後に石が点 $k$ にある確率を $p_k(m)$ とする。初めは点 $1$ にあるので、

$$ p_1(0)=1,\quad p_2(0)=p_3(0)=p_4(0)=p_5(0)=0

$$

である。

移動規則より、次の関係が成り立つ。

$$ \begin{aligned} p_1(m+1)&=\frac{1}{2}p_2(m),\\ p_2(m+1)&=p_1(m)+\frac{1}{2}p_3(m),\\ p_3(m+1)&=\frac{1}{2}p_2(m)+\frac{1}{2}p_4(m),\\ p_4(m+1)&=\frac{1}{2}p_3(m)+p_5(m),\\ p_5(m+1)&=\frac{1}{2}p_4(m). \end{aligned}

$$

これを $m=0$ から順に計算する。

$$ \begin{array}{c|ccccc} m & p_1(m) & p_2(m) & p_3(m) & p_4(m) & p_5(m)\\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 3 & 0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 4 & \frac{3}{8} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{8}\\ 5 & 0 & \frac{5}{8} & 0 & \frac{3}{8} & 0\\ 6 & \frac{5}{16} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{16} \end{array}

$$

よって、試行を $6$ 回繰り返した後に点 $k$ にある確率は、

$$ \left(\frac{5}{16},\ 0,\ \frac{1}{2},\ 0,\ \frac{3}{16}\right)

$$

である。

次に、$6$ 回後に $5$ つの点すべてに印がついている確率を求める。

石は点 $1$ から出発し、隣の点にしか移動しないので、$5$ つすべての点に印がつくことは、点 $5$ に一度でも到達することと同値である。

点 $5$ に初めて到達する時刻は、$6$ 回まででは $4$ 回後または $6$ 回後だけである。

$4$ 回後に初めて点 $5$ に到達するには、

$$ 1\to2\to3\to4\to5

$$

と進むしかない。この確率は

$$ 1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{8}

$$

である。

次に、$6$ 回後に初めて点 $5$ に到達する場合を考える。このとき、$5$ 回後に点 $4$ にいて、それまで点 $5$ に到達していない必要がある。

点 $5$ に到達しないという条件のもとで、点 $1,2,3,4$ 上の確率を計算すると、$5$ 回後に点 $4$ にある確率は $\frac{1}{4}$ である。そこから点 $5$ に進む確率は $\frac{1}{2}$ なので、$6$ 回後に初めて点 $5$ に到達する確率は

$$ \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{8}

$$

である。

したがって、$6$ 回後までに点 $5$ に到達する確率は

$$ \frac{1}{8}+\frac{1}{8} =\frac{1}{4}

$$

である。

最後に、試行を $n$ 回繰り返した後、ちょうど $3$ つの点に印がついている確率を求める。

石は点 $1$ から始まり、隣の点にしか移動しないので、ちょうど $3$ つの点に印がつくことは、

$$ \text{点 }3\text{ には到達したが、点 }4\text{ には到達していない}

$$

ことと同値である。

つまり、

$$ \begin{aligned} P(\text{ちょうど }3\text{ 点に印}) &= P(\text{点 }4\text{ に未到達}) - P(\text{点 }3\text{ に未到達}) \end{aligned} $$

である。

まず、点 $3$ に未到達である確率を求める。点 $3$ に到達しないためには、点 $1$ と点 $2$ の間だけを往復する必要がある。点 $2$ から点 $1$ に戻る確率は $\frac{1}{2}$ であり、これが $2$ 回の試行ごとに必要になる。

したがって、

$$ \begin{aligned} P(\text{点 }3\text{ に未到達}) &= \left(\frac{1}{2}\right)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} \end{aligned} $$

である。

次に、点 $4$ に未到達である確率を求める。点 $4$ に到達しない範囲では、点 $1,2,3$ の中で動く。

時刻 $1$ では必ず点 $2$ にいる。そこから $2$ 回の試行を考えると、

$$ 2\to1\to2

$$

となる確率は $\frac{1}{2}$、

$$ 2\to3\to2

$$

となる確率は $\frac{1}{4}$ である。一方、

$$ 2\to3\to4

$$

となる確率は $\frac{1}{4}$ で、この場合は点 $4$ に到達してしまう。

よって、点 $4$ に到達しないまま $2$ 回の試行を終える確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{4} &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} P(\text{点 }4\text{ に未到達}) &= \left(\frac{3}{4}\right)^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} \end{aligned} $$

である。

以上より、求める確率は

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} - \left(\frac{1}{2}\right)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} $$

である。

解説

この問題では、石の現在位置だけでなく、「どの点に印がついたか」を考える必要がある。しかし、出発点が端の点 $1$ であり、移動は隣の点だけなので、印がついた点は必ず左から連続した形になる。

そのため、印の個数は「最大でどの点まで到達したか」に置き換えられる。特に、ちょうど $3$ つの点に印がついていることは、「点 $3$ までは到達したが、点 $4$ には到達していない」と言い換えられる。

(3) ではこの言い換えが核心である。直接「印のつき方」を数えるよりも、到達・未到達の差として考える方が処理しやすい。

答え

**(1)**

$$ P(X_6=1)=\frac{5}{16},\quad P(X_6=2)=0,\quad P(X_6=3)=\frac{1}{2},\quad P(X_6=4)=0,\quad P(X_6=5)=\frac{3}{16}

$$

**(2)**

$$ \frac{1}{4}

$$

**(3)**

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} - \left(\frac{1}{2}\right)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} $$