解説

方針・初手

赤玉の個数は試行によって増えることはなく、$2 \to 1 \to 0$ と減るだけである。

したがって、$n+1$ 回目に赤玉を取り出す場合を考えるには、$n$ 回目の直前に赤玉が $1$ 個か $2$ 個かに分けて、次の状態への移り方を追えばよい。

解法1

$n$ 回目の試行を行う直前に袋の中に赤玉が $1$ 個あるとき、白玉は $N+1$ 個ある。このとき、$n$ 回目に白玉を取り出す確率は

$$ \frac{N+1}{N+2}

$$

であり、赤玉の個数は $1$ 個のままである。

また、$n$ 回目の試行を行う直前に赤玉が $2$ 個あるとき、$n$ 回目に赤玉を取り出すと、次の試行の直前には赤玉が $1$ 個になる。この確率は $P_n''$ である。

よって、$n+1$ 回目の試行を行う直前に赤玉が $1$ 個あり、そこで赤玉を取り出す確率 $P_{n+1}'$ は

$$ \begin{aligned} P_{n+1}' &= \left\{ \frac{N+1}{N+2}\cdot \Pr(\text{$n$ 回目の直前に赤玉が $1$ 個}) + P_n'' \right\} \cdot \frac{1}{N+2} \end{aligned} $$

である。

ここで、$n$ 回目の直前に赤玉が $1$ 個あるとき、赤玉を取り出す確率は $\dfrac{1}{N+2}$ だから、

$$ \begin{aligned} P_n' &= \Pr(\text{$n$ 回目の直前に赤玉が $1$ 個}) \cdot \frac{1}{N+2} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \Pr(\text{$n$ 回目の直前に赤玉が $1$ 個}) &= (N+2)P_n' \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} P_{n+1}' &= \left\{ \frac{N+1}{N+2}\cdot (N+2)P_n' + P_n'' \right\} \cdot \frac{1}{N+2} \\ &= \frac{N+1}{N+2}P_n' + \frac{1}{N+2}P_n''. \end{aligned}

$$

次に、$n+1$ 回目の試行を行う直前に赤玉が $2$ 個あるためには、$n$ 回目の直前にも赤玉が $2$ 個あり、かつ $n$ 回目に白玉を取り出す必要がある。

赤玉が $2$ 個あるとき、白玉は $N$ 個なので、白玉を取り出す確率は

$$ \frac{N}{N+2}

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} P_{n+1}'' &= \frac{N}{N+2}P_n'' \end{aligned} $$

となる。

以上より、求める漸化式は

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_{n+1}' &= \frac{N+1}{N+2}P_n' + \frac{1}{N+2}P_n'' } \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_{n+1}'' &= \frac{N}{N+2}P_n'' } \end{aligned} $$

である。

また、

$$ P_n=P_n'+P_n''

$$

だから、

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= P_{n+1}'+P_{n+1}'' \\ &= \left( \frac{N+1}{N+2}P_n' + \frac{1}{N+2}P_n'' \right) + \frac{N}{N+2}P_n'' \\ &= \frac{N+1}{N+2}P_n' + \frac{N+1}{N+2}P_n'' \\ &= \frac{N+1}{N+2}(P_n'+P_n'') \\ &= \frac{N+1}{N+2}P_n. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_{n+1} &= \frac{N+1}{N+2}P_n } \end{aligned} $$

である。

初回は、袋の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $N$ 個あるので、

$$ P_1=\frac{2}{N+2}

$$

である。よって、$P_n$ は初項 $\dfrac{2}{N+2}$、公比 $\dfrac{N+1}{N+2}$ の等比数列となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_n &= \frac{2}{N+2} \left( \frac{N+1}{N+2} \right)^{n-1} } \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題では、赤玉の個数そのものを状態として見るのが重要である。

赤玉を取り出したときだけ赤玉の個数が $1$ 個減り、白玉を取り出したときは外部から白玉を入れるので赤玉の個数は変わらない。したがって、状態は赤玉 $2$ 個、赤玉 $1$ 個、赤玉 $0$ 個の順にしか進まない。

$P_n'$、$P_n''$ は「その状態にある確率」ではなく、「その状態にあり、さらに赤玉を取り出す確率」である点に注意する必要がある。このため、状態確率に戻すときには、赤玉を取り出す条件付き確率で割る操作が入る。

最終的には $P_n=P_n'+P_n''$ と足し合わせることで、$P_n'$ と $P_n''$ の個別の情報が消え、単純な等比数列の漸化式になる。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_{n+1}' &= \frac{N+1}{N+2}P_n' + \frac{1}{N+2}P_n'' } \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_{n+1}'' &= \frac{N}{N+2}P_n'' } \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_{n+1} &= \frac{N+1}{N+2}P_n } \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \boxed{ P_n &= \frac{2}{N+2} \left( \frac{N+1}{N+2} \right)^{n-1} } \end{aligned} $$