解説

方針・初手

各回で出る数を $3$ で割った余りだけに注目する。袋の中の数 $1,2,3,4,5$ の余りはそれぞれ

$$ 1,2,0,1,2

$$

であるから，余り $0,1,2$ が出る確率はそれぞれ

$$ \frac{1}{5},\quad \frac{2}{5},\quad \frac{2}{5}

$$

である。

終了条件は「記録された数の和が $3$ の倍数になること」なので，和の余りが $0$ になった瞬間を考えればよい。

解法1

まず，$1$ 回目で終了するのは，$1$ 回目に $3$ が出る場合である。したがって

$$ p_1=\frac{1}{5}

$$

である。

次に $2$ 回目で終了するには，$1$ 回目では終了せず，$2$ 回目で和が $3$ の倍数になればよい。

$1$ 回目の余りが $1$ の場合，$2$ 回目の余りは $2$ でなければならない。また，$1$ 回目の余りが $2$ の場合，$2$ 回目の余りは $1$ でなければならない。

よって

$$ p_2=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5} =\frac{8}{25}

$$

である。

次に $n\geqq 3$ の場合を考える。

$1$ 回目で終了しないためには，$1$ 回目の余りが $1$ または $2$ であればよい。その確率は

$$ \frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}

$$

である。

その後，和の余りが $1$ または $2$ である状態から，次の操作で終了しない確率を考える。

現在の和の余りが $1$ のとき，次に余り $2$ が出ると終了する。したがって終了しない確率は，余り $0$ または $1$ が出る確率であり，

$$ \frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}

$$

である。

現在の和の余りが $2$ のときも同様に，次に余り $1$ が出ると終了するので，終了しない確率は

$$ \frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}

$$

である。

したがって，$2$ 回目から $n-1$ 回目までの $n-2$ 回で終了しない確率は

$$ \left(\frac{3}{5}\right)^{n-2}

$$

である。

最後に，$n$ 回目で終了するには，現在の和の余りが $1$ または $2$ である状態から，和の余りを $0$ にする余りが出ればよい。その確率は，どちらの状態でも

$$ \frac{2}{5}

$$

である。

よって，$n\geqq 3$ のとき

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{4}{5} \left(\frac{3}{5}\right)^{n-2} \frac{2}{5} &= \frac{8}{25} \left(\frac{3}{5}\right)^{n-2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では，実際に出た数そのものではなく，$3$ で割った余りだけを追えばよい。和が $3$ の倍数かどうかは余りだけで決まるためである。

ポイントは，終了していない限り，和の余りは必ず $1$ または $2$ であり，そのどちらの状態でも「次に終了しない確率」が同じく $\frac{3}{5}$ になる点である。そのため，$n$ 回目まで終了しない部分が等比的に処理できる。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{1}{5},\qquad p_2=\frac{8}{25}

$$

**(2)**

$n\geqq 3$ のとき

$$ p_n=\frac{8}{25}\left(\frac{3}{5}\right)^{n-2}

$$