基礎問題集
数学B 数列「数列･確率」の問題34 解説
数学Bの数列「数列･確率」にある問題34の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
カードを戻しながら引くので、各回の結果は独立である。$a_n$ が偶数かどうかだけを追えばよい。
$1,2,3,4,5$ のうち偶数は $2$ 個、奇数は $3$ 個であるから、次に引く数が偶数である確率は $\dfrac{2}{5}$、奇数である確率は $\dfrac{3}{5}$ である。
解法1
$a_n$ が偶数となる確率を $p_n$ とする。
$a_{n+1}$ が偶数となるのは、次のいずれかの場合である。
**(i)**
$a_n$ が偶数で、次に引く数が偶数である。
**(ii)**
$a_n$ が奇数で、次に引く数が奇数である。
したがって、
$$ p_{n+1}=p_n\cdot \frac{2}{5}+(1-p_n)\cdot \frac{3}{5}
$$
である。これを整理すると、
$$ p_{n+1}=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}p_n
$$
となる。
次に、この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると、
$$ \alpha=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\alpha
$$
より、
$$ \alpha=\frac{1}{2}
$$
である。よって、
$$ p_{n+1}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{5}\left(p_n-\frac{1}{2}\right)
$$
となる。
また、$a_1$ が偶数となるのは $2,4$ を引く場合なので、
$$ p_1=\frac{2}{5}
$$
である。したがって、
$$ p_1-\frac{1}{2} =\frac{2}{5}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{10}
$$
より、
$$ p_n-\frac{1}{2} =-\frac{1}{10}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}
$$
である。ゆえに、
$$ p_n=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n}
$$
を得る。
次に、$a_n^2+a_{n+1}^2$ を $4$ で割った余りを考える。
任意の自然数 $k$ について、$k$ が偶数なら $k^2$ は $4$ の倍数であり、$k$ が奇数なら $k=2m+1$ と書けるので、
$$ k^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1
$$
より、$k^2$ を $4$ で割った余りは $1$ である。
したがって、自然数 $k$ に対して、$k^2$ を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ である。
よって、$a_n^2+a_{n+1}^2$ を $4$ で割った余りは、$0,1,2$ のいずれかであり、$3$ にはならない。したがって、
$$ t_n=0
$$
である。
さらに、$a_{n+1}=a_n+X$ とする。ただし、$X$ は $n+1$ 回目に引くカードの数である。
余りが $0$ となるのは、$a_n$ と $a_{n+1}$ がともに偶数の場合である。これは、$a_n$ が偶数で、$X$ が偶数の場合であるから、
$$ q_n=p_n\cdot \frac{2}{5}
$$
である。よって、
$$ q_n =\frac{2}{5}\left(\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n}\right) =\frac{1}{5}+\frac{(-1)^n}{5^{n+1}}
$$
となる。
余りが $1$ となるのは、$a_n$ と $a_{n+1}$ の一方だけが奇数の場合である。これは、$X$ が奇数の場合であり、$a_n$ の偶奇によらない。したがって、
$$ r_n=\frac{3}{5}
$$
である。
余りが $2$ となるのは、$a_n$ と $a_{n+1}$ がともに奇数の場合である。これは、$a_n$ が奇数で、$X$ が偶数の場合であるから、
$$ s_n=(1-p_n)\cdot \frac{2}{5}
$$
である。よって、
$$ s_n =\frac{2}{5}\left(1-\frac{1}{2}-\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n}\right) =\frac{1}{5}-\frac{(-1)^n}{5^{n+1}}
$$
となる。
解説
この問題の中心は、引いた数そのものではなく、和の偶奇だけを追う点である。カードは毎回戻すので、各回の偶奇は独立であり、偶数を引く確率は $\dfrac{2}{5}$、奇数を引く確率は $\dfrac{3}{5}$ で一定である。
また、平方数を $4$ で割った余りは、もとの数の偶奇だけで決まる。偶数の平方は $0$、奇数の平方は $1$ であるから、$a_n^2+a_{n+1}^2$ の余りは $a_n$ と $a_{n+1}$ の偶奇の組だけで決まる。
答え
**(1)**
$$ p_{n+1}=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}p_n
$$
**(2)**
$$ p_n=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2\cdot 5^n}
$$
**(3)(i)**
任意の自然数 $k$ について、$k^2$ を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ である。
**(3)(ii)**
$$ t_n=0
$$
**(3)(iii)**
$$ q_n=\frac{1}{5}+\frac{(-1)^n}{5^{n+1}}
$$
$$ r_n=\frac{3}{5}
$$
$$ s_n=\frac{1}{5}-\frac{(-1)^n}{5^{n+1}}
$$