解説

方針・初手

A の中にある赤玉の個数だけに注目する。A には常に 2 個の玉が入っているので、A の赤玉の個数は $0,1,2$ のいずれかである。

$p_n$ は赤玉が $2$ 個の確率、$q_n$ は赤玉が $1$ 個の確率であるから、赤玉が $0$ 個の確率は

$$ 1-p_n-q_n

$$

である。この3状態の推移を調べればよい。

解法1

A の中の赤玉の個数が $k$ 個であるとする。ただし $k=0,1,2$ である。

このとき、A には赤玉が $k$ 個、白玉が $2-k$ 個入っている。また全体では赤玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個あるので、B には赤玉が $2-k$ 個、白玉が $1+k$ 個入っている。

まず A から 1 個取り出して B に入れ、その後 B から 1 個取り出して A に入れる。

（i） A から赤玉を取り出す場合

その確率は $\dfrac{k}{2}$ である。このとき、A の赤玉は一時的に $k-1$ 個になる。

B には赤玉が $3-k$ 個、白玉が $1+k$ 個、合計 $4$ 個入っている。したがって、B から赤玉を戻す確率は $\dfrac{3-k}{4}$、白玉を戻す確率は $\dfrac{1+k}{4}$ である。

よって、この場合、A の赤玉の個数は

$$ k \quad \text{または} \quad k-1

$$

になる。

（ii） A から白玉を取り出す場合

その確率は $\dfrac{2-k}{2}$ である。このとき、A の赤玉は一時的に $k$ 個のままである。

B には赤玉が $2-k$ 個、白玉が $2+k$ 個、合計 $4$ 個入っている。したがって、B から赤玉を戻す確率は $\dfrac{2-k}{4}$、白玉を戻す確率は $\dfrac{2+k}{4}$ である。

よって、この場合、A の赤玉の個数は

$$ k+1 \quad \text{または} \quad k

$$

になる。

以上より、A の赤玉の個数が $k$ 個である状態からの推移確率は

$$ \begin{aligned} P(k\to k-1)&=\frac{k}{2}\cdot\frac{1+k}{4} =\frac{k(k+1)}{8},\\ P(k\to k)&=\frac{k}{2}\cdot\frac{3-k}{4} +\frac{2-k}{2}\cdot\frac{2+k}{4},\\ P(k\to k+1)&=\frac{2-k}{2}\cdot\frac{2-k}{4} =\frac{(2-k)^2}{8}. \end{aligned}

$$

これを $k=0,1,2$ に代入する。

$k=0$ のとき、

$$ P(0\to0)=\frac{1}{2},\qquad P(0\to1)=\frac{1}{2}

$$

である。

$k=1$ のとき、

$$ P(1\to0)=\frac{1}{4},\qquad P(1\to1)=\frac{5}{8},\qquad P(1\to2)=\frac{1}{8}

$$

である。

$k=2$ のとき、

$$ P(2\to1)=\frac{3}{4},\qquad P(2\to2)=\frac{1}{4}

$$

である。

初め、A には白玉が 2 個入っているので、A の赤玉の個数は $0$ 個である。したがって、1 回操作した後に A の赤玉が 2 個になることはなく、赤玉が 1 個になる確率は $\dfrac{1}{2}$ である。

よって

$$ p_1=0,\qquad q_1=\frac{1}{2}

$$

である。

次に、$n\geqq2$ とする。$(n-1)$ 回後の状態から $n$ 回後の状態への推移を考える。

A の中に赤玉が 2 個ある確率 $p_n$ は、直前に赤玉が 1 個でそこから $1\to2$ と推移する場合、または直前に赤玉が 2 個でそこから $2\to2$ と推移する場合である。したがって

$$ p_n=\frac{1}{8}q_{n-1}+\frac{1}{4}p_{n-1}

$$

である。

また、A の中に赤玉が 1 個ある確率 $q_n$ は、直前に赤玉が 0 個でそこから $0\to1$ と推移する場合、直前に赤玉が 1 個でそこから $1\to1$ と推移する場合、直前に赤玉が 2 個でそこから $2\to1$ と推移する場合である。

赤玉が 0 個である確率は $1-p_{n-1}-q_{n-1}$ だから、

$$ q_n=\frac{1}{2}(1-p_{n-1}-q_{n-1})+\frac{5}{8}q_{n-1}+\frac{3}{4}p_{n-1}

$$

である。整理すると

$$ q_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{8}q_{n-1}

$$

となる。

したがって、$n\geqq2$ に対して

$$ \begin{aligned} p_n&=\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{8}q_{n-1},\\ q_n&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{8}q_{n-1} \end{aligned}

$$

である。

ここで、上の2式を比べると

$$ q_n=p_n+\frac{1}{2}

$$

である。これは $n\geqq2$ で成り立つ。また、$p_1=0,\ q_1=\dfrac{1}{2}$ より、$n=1$ でも成り立つ。

よって、$n\geqq1$ に対して

$$ q_n=p_n+\frac{1}{2}

$$

である。

これを

$$ p_n=\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{8}q_{n-1}

$$

に代入すると、$n\geqq2$ に対して

$$ p_n=\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{8}\left(p_{n-1}+\frac{1}{2}\right)

$$

となる。したがって

$$ p_n=\frac{3}{8}p_{n-1}+\frac{1}{16}

$$

である。

この漸化式の定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{3}{8}\alpha+\frac{1}{16}

$$

であるから、

$$ \frac{5}{8}\alpha=\frac{1}{16}

$$

より

$$ \alpha=\frac{1}{10}

$$

である。

したがって

$$ p_n-\frac{1}{10}=\frac{3}{8}\left(p_{n-1}-\frac{1}{10}\right)

$$

となる。$p_1=0$ より、

$$ p_n-\frac{1}{10}=\left(0-\frac{1}{10}\right)\left(\frac{3}{8}\right)^{n-1}

$$

である。

よって

$$ p_n=\frac{1}{10}\left\{1-\left(\frac{3}{8}\right)^{n-1}\right\}

$$

である。

さらに $q_n=p_n+\dfrac{1}{2}$ より、

$$ q_n=\frac{1}{10}\left\{1-\left(\frac{3}{8}\right)^{n-1}\right\}+\frac{1}{2}

$$

である。整理して

$$ q_n=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}\left(\frac{3}{8}\right)^{n-1}

$$

である。

解説

この問題は、玉そのものの動きを追うのではなく、A の中の赤玉の個数だけを状態として見るのが重要である。A には常に 2 個の玉が入っているので、状態は $0,1,2$ の3通りしかない。

$p_n,q_n$ だけで直接考えようとすると、赤玉が $0$ 個の状態を見落としやすい。赤玉が $0$ 個である確率を $1-p_n-q_n$ と表すことで、3状態の推移を $p_n,q_n$ の漸化式に落とし込める。

また、漸化式を立てた後に

$$ q_n=p_n+\frac{1}{2}

$$

が出てくるため、2変数の漸化式を1変数の漸化式に帰着できる。ここを使うと計算が大きく簡単になる。

答え

**(1)**

$$ p_1=0,\qquad q_1=\frac{1}{2}

$$

**(2)**

$n\geqq2$ に対して、

$$ \begin{aligned} p_n&=\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{8}q_{n-1},\\ q_n&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{8}q_{n-1} \end{aligned}

$$

**(3)**

$n\geqq1$ に対して、

$$ p_n=\frac{1}{10}\left\{1-\left(\frac{3}{8}\right)^{n-1}\right\}

$$

$$ q_n=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}\left(\frac{3}{8}\right)^{n-1}

$$