解説

方針・初手

A の持つ硬貨の枚数だけに注目する。全体で硬貨は $3$ 枚なので、ゲームが続いている状態は A が $2$ 枚持つ状態と、A が $1$ 枚持つ状態だけである。

A が $2$ 枚持つ状態を $S_2$、A が $1$ 枚持つ状態を $S_1$ とする。初期状態は $S_2$ である。

各状態から次の状態へ移る確率を求め、それを用いて $p_1,p_2,p_3$ を計算する。

解法1

まず、状態 $S_2$、すなわち A が $2$ 枚、B が $1$ 枚持っているときを考える。

A の表の枚数を $X$、B の表の枚数を $Y$ とすると、

$$ X=0,1,2,\qquad Y=0,1

$$

である。A が $3$ 枚になって勝つのは、B の表の枚数の方が少なくなり、B が A に硬貨を $1$ 枚渡すときである。つまり $X>Y$ のときである。

$$ P(X>Y)=P(Y=0,X=1,2)+P(Y=1,X=2)

$$

より、

$$ P(X>Y)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{3}{8}+\frac{1}{8} =\frac{1}{2}

$$

したがって、状態 $S_2$ から A が勝って終了する確率は $\dfrac{1}{2}$ である。

また、A が $1$ 枚になるのは $X<Y$ のときである。これは $X=0,Y=1$ の場合だけなので、

$$ P(X<Y)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{8}

$$

残りは表の枚数が等しく、硬貨の移動が起こらない場合であるから、

$$ P(S_2\to S_2)=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{8} =\frac{3}{8}

$$

よって、状態 $S_2$ からの推移は次の通りである。

$$ S_2 \begin{cases} \text{A の勝ちで終了} & \dfrac{1}{2}\\ S_1 & \dfrac{1}{8}\\ S_2 & \dfrac{3}{8} \end{cases}

$$

次に、状態 $S_1$、すなわち A が $1$ 枚、B が $2$ 枚持っているときを考える。

この状態では、A が $1$ 回の操作で一気に $3$ 枚になることはない。A が勝つ方向に硬貨を受け取っても、$1$ 枚から $2$ 枚になるだけである。

A が $1$ 枚、B が $2$ 枚のとき、A の表の枚数を $X$、B の表の枚数を $Y$ とすると、

$$ X=0,1,\qquad Y=0,1,2

$$

である。A が硬貨を受け取って $S_2$ に移るのは $X>Y$ のときであり、これは $X=1,Y=0$ の場合だけである。

$$ P(S_1\to S_2)=P(X=1,Y=0) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{8}

$$

また、硬貨の移動が起こらないのは $X=Y$ のときであるから、

$$ P(S_1\to S_1) =P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{8}+\frac{1}{4} =\frac{3}{8}

$$

したがって、状態 $S_1$ からの推移は次の通りである。

$$ S_1 \begin{cases} S_2 & \dfrac{1}{8}\\ S_1 & \dfrac{3}{8}\\ \text{B の勝ちで終了} & \dfrac{1}{2} \end{cases}

$$

初期状態は $S_2$ である。

**(1)**

$p_1$ を求める。

$1$ 回目で A が $3$ 枚になって終了するには、初期状態 $S_2$ からそのまま A が勝てばよい。よって、

$$ p_1=\frac{1}{2}

$$

**(2)**

$p_2$ を求める。

$2$ 回目で A が $3$ 枚になって終了するには、$1$ 回目では終了せず、なおかつ $2$ 回目の直前に状態 $S_2$ にいなければならない。

初期状態 $S_2$ から、$1$ 回目で終了せずに $S_2$ に残る確率は $\dfrac{3}{8}$ である。その後、$2$ 回目で A が勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ である。

したがって、

$$ p_2=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2} =\frac{3}{16}

$$

**(3)**

$p_3$ を求める。

$3$ 回目で A が勝って終了するには、$2$ 回目終了時点でゲームがまだ続いており、かつ状態 $S_2$ にいる必要がある。

$2$ 回目終了時点で状態 $S_2$ にいる経路は、次の $2$ 通りである。

**(i)**

$S_2\to S_2\to S_2$

この確率は、

$$ \frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8} =\frac{9}{64}

$$

**(ii)**

$S_2\to S_1\to S_2$

この確率は、

$$ \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{8} =\frac{1}{64}

$$

したがって、$2$ 回目終了時点で状態 $S_2$ にいる確率は、

$$ \frac{9}{64}+\frac{1}{64} =\frac{10}{64} =\frac{5}{32}

$$

ここから $3$ 回目で A が勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ であるから、

$$ p_3=\frac{5}{32}\cdot\frac{1}{2} =\frac{5}{64}

$$

解説

この問題では、硬貨の表裏の出方そのものをすべて追い続けるのではなく、A の持つ硬貨の枚数を状態として見るのが重要である。

ゲームが続いている間、A の持つ硬貨の枚数は $1$ 枚または $2$ 枚だけである。A が $3$ 枚になれば勝ちで終了し、A が $0$ 枚になれば B が $3$ 枚となって終了する。

特に注意すべき点は、状態 $S_1$ からは $1$ 回の操作で A が $3$ 枚になることはない点である。A が硬貨を受け取っても $1$ 枚から $2$ 枚になるだけなので、$p_2$ や $p_3$ を求めるときに、$S_1$ から直接 A の勝利に進む経路を数えてはいけない。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{1}{2}

$$

**(2)**

$$ p_2=\frac{3}{16}

$$

**(3)**

$$ p_3=\frac{5}{64}

$$