解説

方針・初手

各操作では，カードを袋に戻すので，毎回同じ確率で次のいずれかが起こる。

• 壺を空にする：確率 $\dfrac{1}{5}$
• $0$ 個入れる：確率 $\dfrac{1}{5}$
• $1$ 個入れる：確率 $\dfrac{2}{5}$
• $2$ 個入れる：確率 $\dfrac{1}{5}$

壺が空である確率 $p_n$ と，玉が $1$ 個である確率 $q_n$ だけに注目して，状態がどのように移るかを調べる。

初めは壺が空であるから，

$$ p_0=1,\qquad q_0=0

$$

として考える。

解法1

まず，$p_{n+1}$ を求める。

$n+1$ 回目の操作後に壺が空であるためには，次のいずれかであればよい。

（i） 「壺を空にする」のカードを引く。

この場合，操作前の状態によらず壺は空になる。確率は $\dfrac{1}{5}$ である。

（ii） 「$0$」のカードを引き，かつ操作前から壺が空である。

この場合，玉は増えないので空のままである。確率は $\dfrac{1}{5}p_n$ である。

したがって，

$$ p_{n+1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}p_n

$$

である。

これを解く。定数解を $p$ とすると，

$$ p=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}p

$$

より，

$$ p=\frac{1}{4}

$$

である。よって，

$$ p_{n+1}-\frac{1}{4} =\frac{1}{5}\left(p_n-\frac{1}{4}\right)

$$

となる。$p_0=1$ だから，

$$ p_n-\frac{1}{4} =\left(\frac{1}{5}\right)^n\left(1-\frac{1}{4}\right) =\frac{3}{4\cdot 5^n}

$$

したがって，

$$ p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4\cdot 5^n}

$$

である。

次に，$q_{n+1}$ を求める。

$n+1$ 回目の操作後に壺の玉が $1$ 個であるためには，次のいずれかであればよい。

（i） 「$0$」のカードを引き，操作前に玉が $1$ 個である。

この確率は $\dfrac{1}{5}q_n$ である。

（ii） 「$1$」のカードを引き，操作前に壺が空である。

「$1$」のカードは $2$ 枚あるので，この確率は $\dfrac{2}{5}p_n$ である。

「壺を空にする」のカードを引いた場合は玉が $1$ 個にはならず，「$2$」のカードを引いて玉が $1$ 個になることもない。

よって，

$$ q_{n+1}=\frac{1}{5}q_n+\frac{2}{5}p_n

$$

である。

ここで，

$$ r_n=5^nq_n

$$

とおく。上の漸化式の両辺に $5^{n+1}$ をかけると，

$$ 5^{n+1}q_{n+1}=5^nq_n+2\cdot 5^n p_n

$$

すなわち，

$$ r_{n+1}=r_n+2\cdot 5^n p_n

$$

である。したがって，

$$ r_{n+1}-r_n=2\cdot 5^n p_n

$$

ここに，

$$ p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4\cdot 5^n}

$$

を代入すると，

$$ \begin{aligned} r_{n+1}-r_n &=2\cdot 5^n\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4\cdot 5^n}\right)\\ &=\frac{5^n}{2}+\frac{3}{2}\\ &=\frac{5^n+3}{2} \end{aligned}

$$

である。

また，$q_0=0$ より $r_0=0$ であるから，

$$ \begin{aligned} r_n &=\sum_{k=0}^{n-1}(r_{k+1}-r_k)\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{5^k+3}{2}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}5^k+\frac{3n}{2}\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{5^n-1}{5-1}+\frac{3n}{2}\\ &=\frac{5^n-1}{8}+\frac{3n}{2} \end{aligned}

$$

したがって，

$$ q_n=\frac{r_n}{5^n} =\frac{1}{5^n}\left(\frac{5^n-1}{8}+\frac{3n}{2}\right)

$$

整理して，

$$ q_n=\frac{5^n+12n-1}{8\cdot 5^n}

$$

である。

解説

この問題では，壺の中の玉の個数全体を追いかける必要はない。問われているのは「空である確率」と「玉が $1$ 個である確率」なので，それらの状態に移る場合だけを整理すればよい。

特に $p_n$ は，「壺を空にする」のカードがあるため，毎回一定確率で空に戻される。このため，単純な一次漸化式になる。

一方，$q_n$ は $p_n$ に依存する。$q_{n+1}$ を直接解くより，問題の指示通り $r_n=5^nq_n$ とおくと，係数 $\dfrac{1}{5}$ が消えて階差の形になる。この変形が計算を簡単にする要点である。

答え

**(1)**

$$ p_{n+1}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}p_n

$$

**(2)**

$$ p_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4\cdot 5^n}

$$

**(3)**

$$ q_{n+1}=\frac{1}{5}q_n+\frac{2}{5}p_n

$$

**(4)**

$$ r_{n+1}-r_n=\frac{5^n+3}{2}

$$

**(5)**

$$ q_n=\frac{5^n+12n-1}{8\cdot 5^n}

$$