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数学B 数列「数列･確率」の問題46 解説
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解説
方針・初手
$Y_n$ は、隣り合う2回がともに表である箇所の個数である。すなわち、$X_{k-1}X_k=1$ となるのは $(X_{k-1},X_k)=(1,1)$ のときだけである。
$Y_n$ が奇数である確率を直接数えるより、$Y_n$ が偶数である列の数と奇数である列の数の差を調べる。そのために、各列に重み $(-1)^{Y_n}$ をつけて和をとる。
解法1
長さ $n$ の $0,1$ 列に対して、$Y_n$ が偶数なら $(-1)^{Y_n}=1$、奇数なら $(-1)^{Y_n}=-1$ である。
そこで
$$ D_n=\sum_{(X_1,\dots,X_n)}(-1)^{Y_n}
$$
とおく。ただし和は長さ $n$ のすべての $0,1$ 列についてとる。
$Y_n$ が偶数である列の個数を $E_n$、奇数である列の個数を $O_n$ とすると、
$$ D_n=E_n-O_n
$$
である。また、全体の列の数は $2^n$ なので、
$$ E_n+O_n=2^n
$$
である。したがって、$O_n$ が分かれば求める確率は
$$ p_n=\frac{O_n}{2^n}
$$
である。
次に $D_n$ を求める。
長さ $n$ の列のうち、最後が $0$ であるものについての重みの和を $A_n$、最後が $1$ であるものについての重みの和を $B_n$ とする。すなわち、
$$ D_n=A_n+B_n
$$
である。
長さ $n$ の列の後ろに $0$ を付け加えると、新しく $11$ はできない。したがって重みは変わらないので、
$$ A_{n+1}=A_n+B_n
$$
である。
一方、後ろに $1$ を付け加える場合を考える。直前が $0$ なら新しく $11$ はできないので重みは変わらない。直前が $1$ なら新しく $11$ が1個増えるので、$Y_n$ の偶奇が入れ替わり、重みは符号反転する。よって、
$$ B_{n+1}=A_n-B_n
$$
となる。
したがって、
$$ D_{n+1}=A_{n+1}+B_{n+1} =(A_n+B_n)+(A_n-B_n) =2A_n
$$
である。また、
$$ A_{n+1}=A_n+B_n=D_n
$$
だから、
$$ D_{n+2}=2A_{n+1}=2D_n
$$
が成り立つ。
初期値を求める。長さ $1$ の列は $0,1$ の2通りであり、このとき $Y_1$ に対応する隣接部分はないので、どちらも重みは $1$ である。したがって、
$$ D_1=2
$$
である。
また、長さ $2$ の列は $00,01,10,11$ の4通りで、$11$ のときだけ $Y_2=1$ となる。よって、
$$ D_2=1+1+1-1=2
$$
である。
漸化式 $D_{n+2}=2D_n$ より、
$$ D_{2m}=2^m,\qquad D_{2m+1}=2^{m+1}
$$
である。
ここで
$$ E_n+O_n=2^n,\qquad E_n-O_n=D_n
$$
だから、
$$ O_n=\frac{2^n-D_n}{2}
$$
である。
よって、
$$ p_n=\frac{O_n}{2^n} =\frac{2^n-D_n}{2^{n+1}} =\frac12-\frac{D_n}{2^{n+1}}
$$
となる。
**(i)**
$n=2m$ のとき
$$ D_n=D_{2m}=2^m
$$
なので、
$$ p_{2m} =\frac12-\frac{2^m}{2^{2m+1}} =\frac12-\frac{1}{2^{m+1}}
$$
である。
**(ii)**
$n=2m+1$ のとき
$$ D_n=D_{2m+1}=2^{m+1}
$$
なので、
$$ p_{2m+1} =\frac12-\frac{2^{m+1}}{2^{2m+2}} =\frac12-\frac{1}{2^{m+1}}
$$
である。
したがって、$n=2m$ と $n=2m+1$ で同じ形になり、
$$ p_n=\frac12-\frac{1}{2^{\lfloor n/2\rfloor+1}}
$$
である。
解説
この問題では、$Y_n$ が「隣り合う表表の個数」であることに気づくのが第一歩である。ただし、隣接する表表は重なって数えられる。例えば $111$ なら、隣接する表表は $(1,2)$ と $(2,3)$ の2個である。
直接「奇数個になる列」を数えると、表の連続の長さによる場合分けが複雑になる。そこで、偶数個の列と奇数個の列の差を表す量として $(-1)^{Y_n}$ の和を考えると、最後の値が $0$ か $1$ かだけで簡単な漸化式になる。
重要なのは、最後に $1$ を付け加えるとき、直前も $1$ なら $11$ が1個増えて偶奇が反転する、という点である。この偶奇の反転を符号の反転として処理するのが、この問題の典型的な処理である。
答え
$$ \boxed{ p_n=\frac12-\frac{1}{2^{\lfloor n/2\rfloor+1}} }
$$
すなわち、
$$ \boxed{ p_{2m}=p_{2m+1}=\frac12-\frac{1}{2^{m+1}} }
$$
である。