基礎問題集
数学B 数列「数列･確率」の問題47 解説
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解説
方針・初手
箱の中身の状態は、全体として赤玉2個・白玉2個で一定である。したがって、操作後の状態は次の2種類だけを考えればよい。
- 両方の箱に赤玉・白玉が1個ずつ入っている状態
- 一方の箱に赤玉2個、もう一方の箱に白玉2個が入っている状態
求める確率 $p_n$ は前者の状態である確率なので、1回の操作でこの状態がどう遷移するかを調べる。
解法1
まず、箱A、Bのどちらにも赤玉・白玉が1個ずつ入っている状態を「良い状態」と呼ぶ。このとき、箱Aから取り出す玉と箱Bから取り出す玉の色の組合せを考える。
両方の箱がともに赤玉・白玉1個ずつなので、取り出す2個の玉の色が同じである確率は
$$ \frac{1}{2}
$$
であり、取り出す2個の玉の色が異なる確率も
$$ \frac{1}{2}
$$
である。
取り出した玉の色が同じなら、交換して戻しても各箱の中身は赤玉・白玉1個ずつのままである。一方、取り出した玉の色が異なれば、一方の箱に赤玉2個、もう一方の箱に白玉2個が入る状態になる。
したがって、良い状態から次も良い状態である確率は
$$ \frac{1}{2}
$$
である。
次に、一方の箱に赤玉2個、もう一方の箱に白玉2個が入っている状態を考える。このとき、赤玉2個の箱からは必ず赤玉を取り出し、白玉2個の箱からは必ず白玉を取り出す。これらを交換して戻すと、どちらの箱にも赤玉・白玉が1個ずつ入る。
したがって、この状態から次に良い状態になる確率は
$$ 1
$$
である。
よって、$n$ 回後に良い状態である確率を $p_n$ とすると、$n+1$ 回後に良い状態である確率は
$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+1\cdot(1-p_n) \end{aligned} $$
である。整理して
$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n
$$
を得る。
最初は両方の箱に赤玉・白玉が1個ずつ入っているので
$$ p_0=1
$$
である。
したがって
$$ p_1=1-\frac{1}{2}p_0 =1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2}
$$
である。
また
$$ p_2=1-\frac{1}{2}p_1 =1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}
$$
である。
次に、漸化式
$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n
$$
を解く。定数解を $\alpha$ とすると
$$ \alpha=1-\frac{1}{2}\alpha
$$
より
$$ \frac{3}{2}\alpha=1
$$
だから
$$ \alpha=\frac{2}{3}
$$
である。
そこで、漸化式から $\frac{2}{3}$ を引くと
$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{2}{3} &= -\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{2}{3}\right) \end{aligned} $$
となる。よって数列 $p_n-\frac{2}{3}$ は公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。
$p_0=1$ だから
$$ \begin{aligned} p_0-\frac{2}{3} &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$
である。したがって
$$ \begin{aligned} p_n-\frac{2}{3} &= \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$
となる。
よって
$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$
である。
解説
この問題では、箱Aと箱Bを個別に細かく追うよりも、「両方の箱が赤白1個ずつであるかどうか」だけに注目するとよい。全体の赤玉・白玉の個数は常に変わらないため、状態は実質的に2種類しかない。
良い状態からは、同じ色を交換すれば良い状態のまま、異なる色を交換すれば崩れる。一方で、崩れた状態からは必ず良い状態に戻る。この非対称な遷移を正確に押さえることが、漸化式を立てる核心である。
答え
**(1)**
$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad p_2=\frac{3}{4}
$$
**(2)**
$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n
$$
**(3)**
$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$