基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題3 解説
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解説
方針・初手
分母が $\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ の形なので、有理化して差の形に直す。隣り合う項が打ち消し合う形になれば、和は簡単に求まる。
解法1
各項について、分母を有理化する。
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} \end{aligned} $$
分母は平方差より、
$$ (\sqrt{k+1})^2-(\sqrt{k})^2=(k+1)-k=1
$$
である。したがって、
$$ \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}
$$
となる。
よって、与えられた和は
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \end{aligned} $$
である。これを展開すると、
$$ \begin{aligned} &(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\ &= -\sqrt{1}+\sqrt{n+1} \end{aligned}
$$
となる。
$\sqrt{1}=1$ より、
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &= \sqrt{n+1}-1 \end{aligned} $$
である。
解説
この問題の要点は、分母の $\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ を見て有理化を行い、
$$ \sqrt{k+1}-\sqrt{k}
$$
という差の形に変形することである。
この形にすると、和を取ったときに中間の項がすべて打ち消し合う。いわゆる望遠和であり、数列の和の典型的な処理である。
答え
$$ \boxed{\sqrt{n+1}-1}
$$