解説

方針・初手

集合 $A,B$ はそれぞれ等差数列として並ぶ。まず各集合の最初の数と最後の数を求め、項数を出す。

また、$A\cap B$ は「$3$ で割っても $4$ で割っても $1$ 余る整数」の集合なので、$12$ で割ると $1$ 余る整数全体である。$A\cup B$ の個数と和は包除原理で求める。

解法1

$100$ から $500$ までの整数のうち、$3$ で割ると $1$ 余るものは

$$ 100,\ 103,\ 106,\ \cdots,\ 499

$$

である。これは初項 $100$、公差 $3$、末項 $499$ の等差数列であるから、$A$ の要素の個数は

$$ \frac{499-100}{3}+1=134

$$

である。

次に、$4$ で割ると $1$ 余るものは

$$ 101,\ 105,\ 109,\ \cdots,\ 497

$$

である。これは初項 $101$、公差 $4$、末項 $497$ の等差数列であるから、$B$ の要素の個数は

$$ \frac{497-101}{4}+1=100

$$

である。

次に、$A\cap B$ を考える。$A\cap B$ に属する整数は、$3$ で割っても $4$ で割っても $1$ 余る整数である。したがって、その整数は $12$ で割ると $1$ 余る。

$100$ から $500$ までで $12$ で割ると $1$ 余る整数は

$$ 109,\ 121,\ 133,\ \cdots,\ 493

$$

である。よって、$A\cap B$ の要素の個数は

$$ \frac{493-109}{12}+1=33

$$

である。

包除原理より、$A\cup B$ の要素の個数は

$$ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

$$

であるから、

$$ |A\cup B|=134+100-33=201

$$

となる。

次に、$A\cup B$ に含まれる整数の和 $S$ を求める。

まず $A$ の要素の和は、初項 $100$、末項 $499$、項数 $134$ より

$$ \frac{134(100+499)}{2}=40133

$$

である。

次に $B$ の要素の和は、初項 $101$、末項 $497$、項数 $100$ より

$$ \frac{100(101+497)}{2}=29900

$$

である。

ただし、$A\cap B$ に属する整数は $A$ の和と $B$ の和で二重に数えられているため、1回分を引く必要がある。

$A\cap B$ の要素の和は、初項 $109$、末項 $493$、項数 $33$ より

$$ \frac{33(109+493)}{2}=9933

$$

である。

したがって、

$$ S=40133+29900-9933=60100

$$

となる。

解説

この問題では、条件を満たす整数を等差数列として扱うことが重要である。

特に $A\cap B$ については、「$3$ で割ると $1$ 余る」かつ「$4$ で割ると $1$ 余る」という条件を、$12$ で割ると $1$ 余るという条件にまとめる点が核心である。

$A\cup B$ の個数や和を求めるときは、$A$ と $B$ を単純に足すと $A\cap B$ の部分を二重に数えるため、包除原理で重複分を引く。

答え

**(1)**

$$ |A|=134,\quad |B|=100,\quad |A\cap B|=33,\quad |A\cup B|=201

$$

**(2)**

$$ S=60100

$$