解説

方針・初手

二項定理により、$(1+x)^k$ における $x^2$ の係数は二項係数で表せる。

その後、$\sum_{k=1}^{n}(1+x)^k$ の $x^2$ の係数は、各 $(1+x)^k$ の $x^2$ の係数を足し合わせればよい。最後の和 $S_n$ は部分分数分解で処理する。

解法1

（1）

二項定理より、

$$ (1+x)^k=\sum_{r=0}^{k}{}_{k}\mathrm{C}_{r}x^r

$$

である。

したがって、$x^2$ の係数は

$$ {}_{k}\mathrm{C}_{2}=\frac{k(k-1)}{2}

$$

である。

よって、求める係数は

$$ \frac{k(k-1)}{2}

$$

である。

**(2)(i)**

$a_n$ は

$$ \sum_{k=1}^{n}(1+x)^k

$$

における $x^2$ の係数である。

各 $(1+x)^k$ における $x^2$ の係数は、（1） より

$$ \frac{k(k-1)}{2}

$$

である。なお、$k=1$ のときは $x^2$ の項は存在しないが、式 $\frac{k(k-1)}{2}$ は $0$ になるので、そのまま和に含めてよい。

したがって、

$$ a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{2}

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} a_n &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(k^2-k)\\ &=\frac{1}{2}\left\{\sum_{k=1}^{n}k^2-\sum_{k=1}^{n}k\right\}\\ &=\frac{1}{2}\left\{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}\right\}\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1-3)}{6}\\ &=\frac{n(n+1)(n-1)}{6}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ a_n=\frac{n(n-1)(n+1)}{6}

$$

である。

**(2)(ii)**

（i） より、

$$ a_k=\frac{k(k-1)(k+1)}{6}

$$

である。したがって、

$$ \frac{1}{a_k}=\frac{6}{k(k-1)(k+1)}

$$

となる。

これを部分分数分解する。

$$ \frac{6}{k(k-1)(k+1)} =\frac{3}{k-1}-\frac{6}{k}+\frac{3}{k+1}

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{a_k}\\ &=\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{3}{k-1}-\frac{6}{k}+\frac{3}{k+1}\right). \end{aligned}

$$

各和を整理する。

$$ \begin{aligned} S_n &=3\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k-1} -6\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} +3\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k+1}\\ &=3\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}\right) -6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\\ &\quad +3\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n+1}\right). \end{aligned}

$$

この式では、中間の項が打ち消し合う。実際に残る端の項を整理すると、

$$ \begin{aligned} S_n &=3+\frac{3}{2}-3-\frac{3}{n}+\frac{3}{n+1}\\ &=\frac{3}{2}-\frac{3}{n}+\frac{3}{n+1}\\ &=\frac{3}{2}-\frac{3}{n(n+1)}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ S_n=\frac{3}{2}-\frac{3}{n(n+1)}

$$

である。

解説

この問題の中心は、二項定理で $x^2$ の係数を取り出すことである。$(1+x)^k$ の $x^2$ の係数は ${}_{k}\mathrm{C}_{2}$ なので、あとはそれを $k=1$ から $n$ まで足せば $a_n$ が得られる。

$S_n$ では、$a_k=\frac{k(k-1)(k+1)}{6}$ となるため、逆数は連続する3つの因数をもつ分数になる。この形は部分分数分解によって和が消去される典型形である。

答え

**(1)**

$$ \frac{k(k-1)}{2}

$$

**(2)(i)**

$$ a_n=\frac{n(n-1)(n+1)}{6}

$$

**(2)(ii)**

$$ S_n=\frac{3}{2}-\frac{3}{n(n+1)}

$$